第三章 中值定理与导数的应用

第一节 中值定理与洛必达法则

一、中值定理

引理（费马定理） 设函数 $f(x)$ 可导，且在 $x=x_0$ 处取极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$，反之不对。

证明

不妨设 $x=x_0$ 为极大值点，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$f(x)<f(x_0)$，从而

$$\begin{array}{r}{f}_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}>0\\ f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}<0\end{array}$$

因为 $f(x)$ 可导，所以 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$，于是 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)=0$，故 $f^{\prime }(x_0)=0$。

反之，设 $f(x)=x^3$，$f^{\prime }(x)=3x^2$，显然 $f^{\prime }(0)=0$，但 $x=0$ 不是 $f(x)=x^3$ 的极值点。

定理 1（罗尔定理）设函数 $f(x)$ 满足：

（1）$f(x)\in C[a,b]$；

（2）$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导；

（3）$f(a)=f(b)$，

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

证明

因为 $f(x)\in C[a,b]$，根据闭区间上连续函数的最值定理，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可取到最小值 $m$ 和最大值 $M$。

情形一：$m=M$。

显然 $f(x)\equiv C_0(a\le x\le b)$，则对任意的 $\xi \in (a,b)$，有 $f^{\prime }(\xi )=0$。

情形二：$m<M$。

因为 $f(a)=f(b)$，所以最小值和最大值最多只有一个在端点取到（即最小值和最大值至少有一个在区间内取到），不妨设存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=M$，显然 $x=\xi$ 也是极大值点，而函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，由费马定理得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

定理 2（拉格朗日中值定理）设函数 $f(x)$ 满足：

（1）$f(x)\in C[a,b]$；

（2）$f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导；

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

证明

令 $\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，显然 $\phi (x)\in C[a,b]$，$\phi (x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，又 $\phi (a)=\phi (b)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 ${\phi }^{\prime }(x)=0$，即

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

划重点

（1）当 $f(a)=f(b)$ 时，拉格朗日中值定理即为罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例。

（2）拉格朗日中值定理的等价形式为

$$\begin{array}{r}f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a),\\ f(b)-f(a)=f^{\prime }[a+\theta (b-a)](b-a),0<\theta <1.\end{array}$$

划重点

若函数 $f(x)\in C[a,b]$，且 $f^{\prime }(x)\equiv 0(a<x<b)$，则在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 恒为常数。

证明 对任意的 $x\in [a,b]$，由拉格朗日中值定理得

$$f(x)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(x-a)$$

其中 $a<\xi <x$，因为 $f^{\prime }(x)\equiv 0(a<x<b)$，所以 $f^{\prime }(\xi )=0$，从而有 $f(x)=f(a)$，

其中 $a<x\le b$，故 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上恒为常数。

定理 3（柯西中值定理）设函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足：

（1）$f(x),g(x)\in C[a,b]$；

（2）$f(x)$，$g(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导；

（3）$g^{\prime }(x)\ne 0(a<x<b)$，

则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

证明

由 $g^{\prime }(x)\ne 0(a<x<b)$ 得 $g(b)-g(a)\ne 0$（若取等号，则可由罗尔定理推出矛盾）。

令 $\phi (x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$，显然 $\phi (x)\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 内可导，且 $\phi (a)=\phi (b)=0$；

由罗尔定理可知，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 ${\phi }^{\prime }(x)=0$，而

$${\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(x),$$

则

$$f^{\prime }(\xi )-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}{g}^{\prime }(\xi )=0,$$

显然 $g^{\prime }(\xi )\ne 0$，故 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$。

定理 4（泰勒中值定理 1）如果函数 $f(x)$ 在 $x_0 处具有 $n$ 阶导数，那么存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任一 $x$，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x),$$

其中 $R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$ 称为佩亚诺型余项。

定理 5（泰勒中值定理 2）设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个领域内有 $n+1$ 阶导数，则对于该邻域内的任一 $x$，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x),$$

其中 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(x-x_0{)}^{n+1}}{(n+1)!}$（$\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间）称为拉格朗日型余项。

特别地，若 $x_0=0$，即

$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+R_n(x),$$

则称其为函数 $f(x)$ 的麦克劳林公式。

划重点

记住常见函数的麦克劳林公式（佩亚诺型余项）

（1）$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

（2）$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$

（3）$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4-\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{(2n)!}{x}^{2n}+o(x^{2n})$

（4）$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$

（5）$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$

（6）$ln(1+x)=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}{x}^n+o(x^n)$

（7）$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

二、洛必达法则

在计算 $\frac{0}{0}$ 型及 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型函数极限时，除我们前面介绍的方法外，有时还会出现常规方法不好使用的情形（如分子、分母函数比较复杂等），这时可以尝试使用如下的洛必达法则：

定理 1 设函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足：

（1）函数 $f(x)$，$g(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$；

（2）$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$，$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0$；

（3）$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}=A(\mathrm{或}\mathrm{\infty })$，

则 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g(x)}{f(x)}=A(\mathrm{或}\mathrm{\infty })$。

划重点

求 $\frac{0}{0}$ 型函数的极限时，若使用洛必达法则后没有极限，只能说明洛必达法则对该题不适用，原极限未必不存在，如：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}$，显然

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{(x^2\sin \frac{1}{x}{)}^{\prime }}{(x{)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{lim}(2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x})$$

不存在，即洛必达法则不适用于该极限计算，但是

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^2\sin \frac{1}{x}}{x}=\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$$

定理 2 设函数 $f(x)$，$g(x)$ 满足：

（1）函数 $f(x)$，$g(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$；

（2）$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$；

（3）$\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)}=A(\mathrm{或}\mathrm{\infty })$，

则 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{g(x)}{f(x)}=A(\mathrm{或}\mathrm{\infty })$。

划重点

求 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型函数的极限时，若使用洛必达法则后没有极限，只能说明洛必达法则对该题不适用，原极限未必不存在，如：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x+\sin x}{x+3}$，显然

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{(3x+\sin x{)}^{\prime }}{(x+3{)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(3+\cos x)$$

不存在，即洛必达法则不适用于该极限计算，但是

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x+\sin x}{x+3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3+\frac{1}{x}\sin x}{1+\frac{3}{x}}=3$$

第二节 导数的应用

一、函数的单调性

1.定义

设函数 $f(x)(x\in D)$，若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$，有

$$f(x_1)<f(x_2),$$

则称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单调递增。

若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1<x_2$，有

$$f(x_1)>f(x_2)$$

则称函数 $f(x)$ 在 $D$ 上严格单调递减。

2.判断定理

设函数 $f(x)\in C[a,b]$，在 $(a,b)$ 内可导，

（1）当 $x\in (a,b)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，则函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递增；

（2）当 $x\in (a,b)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，则函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调递减。

二、函数的极值

1.定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，若存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)<f(x_0)$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点，$f(x_0)$ 称为极大值；

若存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>f(x_0)$，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点，$f(x_0)$ 称为极小值。

2.极值判定定理

定理 1（第一充分条件）设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内可导。

（1）当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，则 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点；

（2）当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，则 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点。

划重点

求函数 $f(x)(x\in D)$ 的极值点和极值时，一般有如下两个步骤：

（1）求 $f^{\prime }(x)$，找出函数 $f(x)$ 的驻点和不可导点（这些点可能是极值点，也可能不是）；

（2）采用极值判别定理进行判断。

定理 2（第二充分条件）设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处有二阶导数，且 $f^{\prime }(x_0)=0$，$f^{″}(x_0)\ne 0$。

（1）若 $f^{″}(x_0)>0$，则 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极小值点；

（2）若 $f^{″}(x_0)<0$，则 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的极大值点。

证明

（1）由 $f^{″}(x_0)>0$ 及导数定义得

$$f^{″}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0$$

由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}>0$$

即当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$；当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，故 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的极小值点。

（2）由 $f^{″}(x_0)<0$ 及导数定义得

$$f^{″}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)-f^{\prime }(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0$$

由极限保号性，存在 $\delta >0$，当 \lt|x-x_0|\lt\delta$ 时，有

$$\frac{f^{\prime }(x)}{x-x_0}<0$$

即当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，故 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的极大值点。

三、函数图像的凹凸性

1.基本概念

（1）凹凸性——设函数 $f(x)$ 在 $D$ 上连续，若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1\ne x_2$ 时，有

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称曲线 $y=f(x)$ 在 $D$ 上是凹的；

若对任意的 $x_1,x_2\in D$ 且 $x_1\ne x_2$ 时，有

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

则称曲线 $y=f(x)$ 在 $D$ 上是凸的。

（2）拐点——设 $y=f(x)$ 在 $D$ 上连续，$x_0$ 是 $D$ 内的点。若曲线 $y=f(x)$ 在经过点 $(x_0,f(x_0))$ 时，曲线的凹凸性改变了，则称点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点。

2.凹凸性判定法

定理 3 设函数 $f(x)\in C[a,b]$，在区间 $(a,b)$ 内二阶可导。

（1）若在 $(a,b)$ 内有 $f^{″}(x)<0$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上时凸的；

（2）若在 $(a,b)$ 内有 $f^{″}(x)>0$，则曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上时凹的。

证明

由泰勒公式得

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{″}(\xi )}{2!}(x-x_0{)}^2,$$

其中，$\xi$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间。

（1）当 $f^{″}(x)<0(a<x<b)$ 时，有

$$f(x)\le f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),$$

当且仅当 $x=x_0$ 时等号成立，对任意的 $x_1,x_2\in D$，且 $x_1\ne x_2$，取 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，因为 $x_1\ne x_0$，$x_2\ne x_0$，所以有

$$f(x_1)<f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_1-x_0),f(x_2)<f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_2-x_0)$$

两式相加得

$$f(x_1)+f(x_2)<2f(x_0)+f^{\prime }(x_0)[(x_1-x_0)+(x_2-x_0)]=2f(x_0),$$

即

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

故曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的。

（2）当 $f^{″}(x)>0(a<x<b)$ 时，有

$$f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0),$$

当且仅当 $x=x_0$ 时等号成立，对任意的 $x_1,x_2\in D$，且 $x_1\ne x_2$，取 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$，因为 $x_1\ne x_0$，$x_2\ne x_0$，所以有

$$f(x_1)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_1-x_0),f(x_2)>f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x_2-x_0)$$

两式相加得

$$f(x_1)+f(x_2)>2f(x_0)+f^{\prime }(x_0)[(x_1-x_0)+(x_2-x_0)]=2f(x_0),$$

即

$$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$

故曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的。

四、曲线的渐近线

1.水平渐近线——设曲线 $L:y=f(x)$，若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，则称直线 $y=A$ 为曲线 $L$ 的水平渐近线。

2.铅直渐近线——设曲线 $L:y=f(x)$，若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }(\mathrm{或}f(a-0)=\mathrm{\infty },\mathrm{或}f(a+0)=\mathrm{\infty })$，则称直线 $x=a$ 为曲线 $L$ 的铅直渐近线。

3.斜渐近线——设曲线 $L:y=f(x)$，若 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=a(a\ne 0,a\ne \mathrm{\infty })$，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]=b$，则称直线 $y=ax+b$ 为曲线的斜渐近线。

五、弧微分与曲率

1.弧微分

设 $L:y=f(x)(x\in D)$，取区间元素 $[x,x+\text{d}x]\subset D$，曲线上对应的弧微分为 $\text{d}s$，则有

$$\text{d}s=\sqrt{(\text{d}x{)}^2+(\text{d}y{)}^2}$$

（1）设曲线 $L:y=f(x)$，则弧微分为

$$\text{d}s=\sqrt{1+(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}{)}^2}\text{d}x=\sqrt{1+y^{{}^{\prime }2}}\text{d}x;$$

（2）设曲线 $L:\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}$（其中 $\phi (t)$，$\psi (t)$ 均可导），弧微分为

$$\text{d}s=\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}{)}^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}{)}^2}\text{d}t=\sqrt{{\phi }^{{}^{\prime }2}(t)+{\psi }^{{}^{\prime }2}(t)}\text{d}t$$

2.曲率与曲率半径

设曲线 $L:y=f(x)$，其中 $y(x)$ 二阶可导，当 $x=x_0$ 时，曲线在对应点处的曲率为

$$K={\frac{|y^{″}|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{\frac{3}{2}}}|}_{x=x_0}$$

本章重要考点及题型

题型一 中值定理及应用

情形 1 证明 $f^{(n)}(\xi )=0$ 的命题

（1）若证明命题 $f^{\prime }(\xi )=0$，一般需要找两个点处的函数值相等；

（2）若证明命题 $f^{″}(\xi )=0$，一般需要找三个点处的函数值相等或两个点处的一阶导数相等。

情形 2 结论中仅含中值 $\xi$，无其他字母的命题

情形 3 含两个中值的命题

情形 4 拉格朗日中值定理常见用法

（1）命题中出现 $f(b)-f(a)$；

（2）命题中出现 $f(a)$，$f(c)$，$f(b)$

题型二 极值点的判断

题型三 方程根或函数零点的讨论

题型四 不等式的证明

题型五 曲线的渐近线