错题本

1. 设 $a_1=\sqrt{2}$，$a_2=\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$，...，证明：数列 $a_n$ 收敛，并求其极限。

   证明

   数列 $a_n$ 的递推关系式为

   $$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n},$$

   显然 $a_1=\sqrt{2}\le 2$，设 $a_k\le 2$，则 $a_{k+1}=\sqrt{2+a_k}\le \sqrt{2+2}=2$，由数学归纳法，对一切的 $n$，有 $a_n\le 2$，即数列 $a_n$ 有上界，故数列 $a_n$ 收敛，即极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在。

   令 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ 两边求极限得

   $$A=\sqrt{2+A},$$

   解得 $A=2$，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=2$。

2. 求 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(2x+1)(\arctan x-\frac{\pi }{2})$

   解

   $$\begin{array}{rlcr}\text{原式}& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x+1}{x}\cdot \frac{\arctan x-\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{x}}& & \\ & =2\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\arctan x-\frac{\pi }{2}}{\frac{1}{x}}& & \\ & =2\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{1+x^2}}{-\frac{1}{x^2}}& & \\ & =-2\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{1+x^2}& & \\ & =-2& & \end{array}$$

3. 求 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(\sin \frac{1}{x-1}-\sin \frac{1}{x+1})$

   解

   令 $f(t)=\sin t$，$f^{\prime }(t)=\cos t$，由拉格朗日中值定理得

   $$\begin{array}{rl}& \sin \frac{1}{x-1}-\sin \frac{1}{x+1}=f(\frac{1}{x-1})-f(\frac{1}{x+1})\\ =& f^{\prime }(\xi )(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})=\frac{2}{x^{-}1}\cdot \cos \xi ，\end{array}$$

   其中 $\frac{1}{x+1}<\xi <\frac{1}{x-1}$，则

   $$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{x}^2(\sin \frac{1}{x-1}-\sin \frac{1}{x+1})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x^2}{x^2-1}\cdot \cos \xi =2$$

4. 求极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{n!}$

   解

   当 $n\ge 2$ 时，由 $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n\ge 1\times 2\times 2\times \cdots \times 2\times n=2^{n-2}n$ 得

   $$0<\frac{2^n}{n!}\le \frac{4}{n}$$

   而 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{4}{n}=0$，由夹逼定理得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2^n}{n!}=0$。

5. 设 $f(x)\in C[0,2]$，且 $f(0)+2f(1)+3f(2)=6$，证明：存在 $c\in [0,2]$，使得 $f(c)=1$。

   证明

   因为 $f(x)\in C[0,2]$，所以 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$，由

   $$6m\le f(0)+2f(1)+3f(2)\le 6M$$

   得 $m\le 1\le M$，再由介值定理，存在 $c\in [0,2]$，使得 $f(c)=1$。

6. 设函数 $f(x)$ 连续，且 $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\sin \pi x}=4$，求 $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f^2(x)-1}{\ln x}$

   解

   由 $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\sin \pi x}=4$ 得 $f(1)=1$

   由 $4=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\sin \pi x}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\sin [\pi +\pi (x-1)]}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\sin \pi (x-1)}$

   $=-\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(2x-1)-1}{\pi (x-1)}=-\frac{2}{\pi }\underset{x\to 1}{lim}\frac{f[1+2(x-1)]-f(1)}{2(x-1)}=-\frac{2}{\pi }{f}^{\prime }(1)$

   得 $f^{\prime }(1)=-2\pi$；则

   $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 1}{lim}\frac{f^2(x)-1}{\ln x}& =\underset{x\to 1}{lim}[f(x)+1]\cdot \frac{f(x)-1}{\ln [1+(x-1)]}\\ & =2\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=2f^{\prime }(1)\\ & =-4\pi \end{array}$$

7. 设 $f(x)=e^x\sin x$，求 $f^{(n)}(x)$。

   解

   $f^{\prime }(x)=e^x\sin x+e^x\cos x=\sqrt{2}{e}^x\sin (x+\frac{\pi }{4})$，

   $f^{″}(x)=\sqrt{2}[e^x\sin (x+\frac{\pi }{4})+e^x\cos (x+\frac{\pi }{4})]=(\sqrt{2}{)}^2{e}^x\sin (x+\frac{2\pi }{4})$，

   由归纳法得

   $$f^{(n)}(x)=(\sqrt{2}{)}^n[e^x\sin (x+\frac{n\pi }{4})]$$

8. 设 $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$，求 $f^{(n)}(x)$。

   解

   $f(x)=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$，则

   $f^{(n)}=\frac{1}{2}[(\frac{1}{x-1}{)}^{(n)}-(\frac{1}{x+1}{)}^{(n)}]=\frac{1}{2}[\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x-1{)}^{n+1}}-\frac{(-1{)}^{n}n!}{(x+1{)}^{n+1}}]$

9. 设函数 $f(x)=\ln (2x^2-x-1)(x>1)$，求 $f^{(n)}(x)$。

   解

   由 $f(x)=\ln (2x^2-x-1)=\ln [(x-1)(2x+1)]=\ln (x-1)+\ln (2x+1)$ 得

   $$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{2x+1}$$

   则

   $$\begin{array}{rl}{f}^{(n)}(x)& =(\frac{1}{x-1}{)}^{(n-1)}+(\frac{2}{2x+1}{)}^{(n-1)}\\ & =\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!}{(x-1{)}^n}+\frac{(-1{)}^{n-1}(n-1)!2^n}{(2x+1{)}^n}\end{array}$$

10. 求曲线 $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}{e}^{\frac{1}{x}}$ 的水平渐近线与铅直渐近线。

    解

    由 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}{e}^{\frac{1}{x}}=1$ 得 $y=1$ 为曲线的水平渐近线；

    由 $\underset{x\to -1}{lim}=\underset{x\to -1}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}{e}^{\frac{1}{x}}=e^{-1}\underset{x\to -1}{lim}\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=e^{-1}\underset{x\to -1}{lim}\frac{x-2}{x+1}=\mathrm{\infty }$ 得 $x=-1$ 为曲线的铅直渐近线；

    由 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}y=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}{e}^{\frac{1}{x}}=-\mathrm{\infty }$ 得 $x=0$ 为曲线的铅直渐近线；

    由 $\underset{x\to 1}{lim}y=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}{e}^{\frac{1}{x}}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-2}{x+1}{e}^{\frac{1}{x}}=-\frac{e}{2}$ 得 $x=1$ 不是曲线的铅直渐近线。

    斜渐近线： $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=a(a\ne 0,a\ne \mathrm{\infty })$，$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}[f(x)-ax]=b$，则称直线 $y=ax+b$ 为曲线的斜渐近线。