第 7 讲 零点问题与微分不等式

一、零点问题

1. 零点问题（主要用于证明根的存在性）

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根。

【注】推广的零点定理：若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\alpha ,\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\beta$，且 $\alpha \cdot \beta <0$，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根，这里 $a,b,\alpha ,\beta$ 可以是有限数，也可以是无穷大。

2. 单调性（主要用于证明根的唯一性）

若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至多有一个根，这里 a，b 可以是有限数，也可以是无穷大。

3. 罗尔原话（罗尔定理的推论）

若 $f^{(n)}(x)=0$ 至多有 k 个根，则 $f(x)=0$ 至多有 k+n 个根。

4. 实系数奇次方程至少有一个实根

【注】试证任何实系数奇次方程 $x^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2n+1}=0$ 至少有一个实根。

证明 设 $f(x)=x^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2n+1}$

则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$，故 $\mathrm{\forall }{M}_1>0,\text{exist}{X}_1>0$，当 $x>X_1$ 时，$f(x)>M_1>0$，故 $\text{exist}{x}_1>X_1$，使 $f(x_1)>0$

又 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$，故 $\mathrm{\forall }{M}_2>0,\text{exist}{X}_2>0$，当 $x<-X_2$ 时，$f(x)<M_2<0$，故 $\text{exist}{x}_2<-X_2$，使 $f(x_2)>0$

由 $f(x)$ 的连续性及零点定理，知 $\text{exist}\xi \in (x_2,x_1)\text{sub}(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，使 $f(\xi )=0$，即至少有一个实根。

二、微分不等式

1. 用函数性态（包括单调性、凹凸性和最值等）证明不等式

一般地，使用如下依据

（1）若有 $f^{\prime }(x)\ge 0$，$a<x<b$，则有 $f(a)\le f(x)\le f(b)$

（2）若有 $f^{″}(x)\ge 0,a<x<b$，则有 $f^{\prime }(a)\le f^{\prime }(x)\le f^{\prime }(b)$

① 当 $f^{\prime }(a)>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0\Rightarrow f(x)$ 单调增加

② 当 $f^{\prime }(b)<0$ 时，$f^{\prime }(x)<0\Rightarrow f(x)$ 单调减少

（3）设 $f(x)$ 在 $I$ 内连续，且有唯一的极值点 $x_0$，则 $\{\begin{array}{l}\mathrm{当}{x}_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{值}\mathrm{点}\mathrm{时}，f(X_0)\ge f(x)，\\ \mathrm{当}{x}_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{值}\mathrm{点}\mathrm{时}，f(x_0)\le f(x)，\end{array}\mathrm{\forall }x\in I$

（4）若有 $f^{″}(x)>0,a<x<b,f(a)=f(b)=0$，则有 $f(x)<0$

2. 用常数变量化证明不等式

如果欲证的不等式中都是常数，则可以将其中一个或者几个常数变量化，再利用上面所述的导数工具去证明。

3. 用中值定理证明不等式

主要用拉格朗日中值定理或泰勒公式。