第 1 讲 高等数学预备知识

一、函数的概念与特性

1.函数

设 $x$ 与 $y$ 是两个变量，$D$ 是一个给定的数集，若对于每个值 $x\in D$，按照一定的法则 $f$，有一个确定的值 $y$ 与之对应，则称 $y$ 为 $x$ 的函数，记作 $y=f(x)$。称 $x$ 为自变量，$y$ 为因变量。称数集 $D$ 为此函数的定义域，定义域一般由实际背景中变量的具体意义或者函数对应法则的要求确定。

2.反函数

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R$。如果对于每一个 $y\in R$，必存在唯一的 $x$ 属于 $D$，使得 $y=f(x)$ 成立，则由此定义了一个新的函数 $x=\phi (y)$。这个函数就称为函数 $y=f(x)$ 的反函数，一般记作 $x=f^{-1}(y)$，它的定义域为 $R$，值域为 $D$。相对于反函数来说，原来的函数也称为直接函数。以下两点需要说明：

第一，严格单调函数必有反函数，比如函数 $y=x^2(x\in [0,+\mathrm{\infty }))$ 是严格单调函数，故它有反函数 $x=\sqrt{y}$。

第二，若把 $x=f^{-1}(y)$ 与 $y=f(x)$ 的图形画在同一坐标系中，则它们完全重合。只有把 $y=f(x)$ 的反函数 $x=f^{-1}(y)$ 写成 $y=f^{-1}(x)$ 后，它们的图形才关于 $y=x$ 对称，事实上这也是字母 $x$ 与 $y$ 互换的结果。

3.复合函数

设 $y=f(u)$ 的定义域为 $D_1$，函数 $u=g(x)$ 在 $D$ 上有定义，且 $g(D)\subset D_1$，则由 $y=f[g(x)](x\in D)$ 确定的函数，称为由函数 $u=g(x)$ 和函数 $y=f(u)$ 构成的复合函数，它的定义域为 $D$，$u$ 称为中间变量，要掌握复合的方法。

4.函数的四种特性

（1）有界性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，数集 $I\subset D$，如果存在某个正数 $M$，使对任一 $x\in I$，有 $|f(x)\le M|$，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界；如果这样的 $M$ 不存在，则称 $f(x)$ 在 $I$ 上无界。

【注】（1）从几何上看，如果在给定的区间，函数 $y=f(x)$ 的图形能够被直线 $y=M$ 和 $y=-M$ “完全包起来”，则为有界；从解析上说，找到某个正数 $M$，使得 $|f(x)\le |M$，则为有界。

（2）有界还是无界的讨论首先是指明区间 $I$，不知区间，无法谈论有界性。比如 $y=\frac{1}{x}$ 在 $(2,+\mathrm{\infty })$ 内有界，但在 $(0,2)$ 内无界。

(3)事实上，只要在区间 $I$ 上存在点 $x_0$，使得函数 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 的值为无穷大，则没有任何两条直线 $y=-M$ 和 $y=M$ 可以把 $I$ 上的 $f(x)$ “包起来”，这就叫无界。

（2）单调性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I\subset D$。如果对于区间 $I$上任意两点 $x_1,x_2$,当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加。如果对于区间 $I$上任意两点 $x_1,x_2$,当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少。

【注】后面会看到，在考研试题中常常用来求导来讨论函数在某个区间上的单调性，但是定义法不可以忘记。试题中也用到如下定义法的判别形式，请读者留意。

对任何 $x_1,x_2\in D$, $x_1\ne x_2$，则 $f(x)\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]>0$ > $f(x)\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]<0$ > $f(x)\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{不}\mathrm{减}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\ge 0$ > $f(x)\mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{调}\mathrm{不}\mathrm{增}\mathrm{函}\mathrm{数}\iff (x_1-x_2)[f(x_1)-f(x_2)]\le 0$

（3）奇偶性

设 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称（即若 $x\in D$，则 $-x\in D$）。如果对于任一 $x\in D$，恒有 $f(-x)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为偶函数。如果对于任一 $-x\in D$，恒有 $f(-x)=-f(x)$，则称 $f(x)$ 为奇函数。我们熟知的是，偶函数的图形关于 $y$ 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。

【注】设 $f(x)$ 是定义在 $[-l,l]$ 上的任意函数，则

$F_1(x)=f(x)-f(-x)$ 必为奇函数；$F_2(x)=f(x)+f(-x)$ 必为偶函数。

显然，$u(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]$ 是偶函数，$v(x)=\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]$ 是奇函数。而

$$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=u(x)+v(x)$$

（1）奇函数 $y=f(x)$ 的图形关于坐标原点对称，当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义时，必有 $f(0)=0$。

（2） 偶函数 $y=f(x)$ 的图形关于 $y$ 轴对称，且当 $f^{\prime }(0)$ 存在时，必有 $f^{\prime }(0)=0$。

（3）函数 $y=f(x)$ 与 $y=-f(x)$ 的图形关于 $x$ 轴对称；函数 $y=f(x)$ 与 $y=f(-x)$ 的图形关于 $y$ 轴对称；函数 $y=f(x)$ 与 $y=-f(-x)$ 的图形关于原点对称。

（4）函数 $y=f(x)$ 的图形关于直线 $x=T$ 对称的充分必要条件是

$$f(x)=f(2T-x)\mathrm{或}f(x+T)=f(T-x)$$

（4）周期性

设 $f(x)$ 的定义域为 $D$，如果存在一个正数 $T$，使得对于任一 $x\in D$，有 $x\pm T\in D$，且 $f(x+T)=f(x)$，则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为 $f(x)$ 的周期。从几何图形上看，在周期函数的定义域内，相邻的两个长度为 $T$ 的区间上，函数的图形完全一样。

（5）重要结论

事实上，关于 $f^{\prime }(x)$ 和 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 的性质才是这个知识的落脚点，先提前总结在这里：

① 若 $f(x)$ 是可导的偶函数，则 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数。

② 若 $f(x)$ 是可导的奇函数，则 $f^{\prime }(x)$ 是偶函数。

③ 若 $f(x)$ 是可导的周期为 $T$ 的周期函数，则 $f^{\prime }(x)$ 也是以 $T$ 为周期的周期函数。

④ 连续的奇函数的一切原函数都是偶函数。

⑤ 连续的偶函数的原函数中仅有一个原函数是奇函数。

⑥ 若连续函数 $f(x)$ 以 $T$ 为周期且 ${\int }_0^{T}f(x)dx=0$，则 $f(x)$ 的一切原函数也以 $T$ 为周期。

⑦ 若 $f(x)$ 在有限区间 $(a,b)$ 内可导且 $f^{\prime }(x)$ 有界，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界。

二、函数的图像

（一）直角坐标系下的图像$(f(x,y)=0)$

1. 常见图像

（1）基本初等函数与初等函数

基本初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

① 常数函数

$y=A$，$A$ 为常数，其图形为平行于 $x$ 轴的水平直线（如图 1-1-1）。

② 幂函数

$y=x^{\mu }$（μ 是实数）

【注】（1）$y=x^{\mu }$ 的定义域和值域取决于 μ 的值，当 x > 0 时，$y=x^{\mu }$ 都有定义。

（2）常用的幂函数（如图 1-1-2(a)-(c)）。

$y=x,y=x^2,y=\sqrt{x},y=x^3,y=\sqrt[3]{x},y=\frac{1}{x}$

③ 指数函数

$y=a^x(a>0,a\ne 0)$（如图 1-1-3(a)）。

【注】（1）定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域：$(0,+\mathrm{\infty })$

（2）单调性：当 a > 1 时，$y=a^x$ 单调增加；当 0 < a < 1 时，$y=a^x$ 单调减少

（3）常用的指数函数：$y=e^x$（如图 1-1-3(b)）

（4）极限：$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=0,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{e}^x=+\mathrm{\infty }$

（5）特殊函数值：$a^0=1,e^0=1$

④ 对数函数

$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$（如图 1-1-4(a)）是 $y=a^x$ 的反函数。

【注】（1）定义域：$(0,+\mathrm{\infty })$，值域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

（2）单调性：当 a > 1 时，$y={\log }_{a}x$ 单调增加； 当 0 < a < 1 时，$y={\log }_{a}x$ 单调减少

（3）常用的对数函数：$y=\ln x$（自然对数：$\ln x={\log }_{e}x,e=2.71828\cdots$）（如图 1-1-4(b)）

（4）特殊函数值：${\log }_{a}1=0,{\log }_{a}a=1,\ln 1=0,lne=1$

（5）极限：$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\ln x=-\mathrm{\infty },\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln x=+\mathrm{\infty }$

（6）常用公式：$x=e^{\ln x},u^v=e^{\ln u^v}=e^{v\ln u}$

⑤ 三角函数

（i）正弦函数与余弦函数

正弦函数 $y=\sin x$（如图 1-1-5(a)），余弦函数 $y=\cos x$（如图 1-1-5(b)）

【注】（1）定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，值域：$[-1,+1]$

（2）奇偶性：$y=\sin x$ 是奇函数，$y=\cos x$ 是偶函数，$x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

（3）周期性：$y=\sin x$ 和 $y=cosx$ 均以 2π 为最小正周期，$x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

（4）有界性：$|\sin x|\le 1,|\cos x|\le 1$

（5）特殊函数值：$$\begin{gathered} \sin 0=0,\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2},\sin \pi 4=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin \frac{\pi }{2}=1,\sin \pi =0,\sin \frac{3\pi }{2}=-1,\sin 2\pi =0, \\ \cos 0=1\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}, \\ \cos \frac{\pi }{2}=0,\cos \pi =-1,\cos \frac{3\pi }{2}=0,\cos 2\pi =1 \end{gathered}$$

（ii）正切 函数与余切函数

正切函数 $y=\tan x$（如图 1-1-6(a)），余切函数 $y=\cot x$（如图 1-1-6(b)）

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$$

【注】（1）定义域：$y=\tan x$ 的定义域为 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ 的一切实数 x；$y=\cot x$ 的定义域为 $x\ne k\pi (k\in Z)$ 的一切实数 x。值域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

（2）奇偶性：$y=\tan x$ 和 $y=\cot x$ 均为奇函数（在其定义域内）

（3）周期性：$y=\tan x$ 和 $y=\cot x$ 均以 π 为最小正周期（在其定义域内）

（4）特殊函数值：$$\begin{gathered} \tan 0=0,\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\tan \frac{\pi }{4}=1,\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}, \\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\tan x=\mathrm{\infty },\tan \pi =0,\underset{x\to \frac{3\pi }{2}}{lim}\tan x=\mathrm{\infty },\tan 2\pi =0, \\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\cot x=\mathrm{\infty },\cot \frac{\pi }{6}=\sqrt{3},\cot \frac{\pi }{4}=1,\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}, \\ \cot \frac{\pi }{2}=0,\underset{x\to \pi }{lim}\cot x=\mathrm{\infty },\cot \frac{3\pi }{2}=0,\underset{x\to 2\pi }{lim}\cot x=\mathrm{\infty }, \end{gathered}$$

（iii）正割函数与余割函数

正割函数 $y=\sec x$（如图 1-1-7(a)），余割函数 $y=\csc x$（如图 1-1-7(b)）

$$\sec x=\frac{1}{\cos x}\csc x=\frac{1}{\sin x}$$

【注】定义域：$y=\sec x$ 的定义域为 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in Z)$ 的一切实数；$y=\csc x$ 的定义域为 $x\ne k\pi (k\in Z)$ 的一切实数。值域：$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$

（2）奇偶性：$y=\sec x$ 为偶函数，$y=\csc x$ 为奇函数（在其定义域内）

（3）周期性：$y=\sec x$ 和 $y=\csc x$ 均以 2π 为最小正周期（在其定义域内）

⑥ 反三角函数

（i）反正弦函数与反余弦函数

反正弦函数 $y=\arcsin x$（如图 1-1-8(a)），反余弦函数 $y=\arccos x$ （如图 1-1-8(b)）

$y=\arcsin x$ 是 $y=\sin x(-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2})$ 的反函数，$y=\arccos x$ 是 $y=\cos x(0\le x\le \pi )$ 的反函数

【注】（1）定义域：[-1,1]，值域：$y=\arcsin x$ 的值域为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，$y=\arccos x$ 的值域为 $[0,\pi ]$

（2）单调性：$y=\arcsin x$ 单调增加，$y=\arccos x$ 单调减少

（3）奇偶性：$y=\arcsin x$ 为奇函数（在其定义域内）

（4）有界性：两个函数在其定义域内有界，$-\frac{\pi }{2}\le \arcsin x\le \frac{\pi }{2},0\le \arccos x\le \pi$

（5）性质：$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1)$

（6）特殊函数值：$$\begin{gathered} \arcsin 0=0,\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6},\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4},\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3},\arcsin 1=\frac{\pi }{2} \\ \arccos 1=0,\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6},\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4},\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3},\arccos 0=\frac{\pi }{2} \end{gathered}$$

（ii）反正切函数与反余切函数

反正切函数 $y=\arctan x$（如图 1-1-9(a)），反余切函数 $y=arccotx$ （如图 1-1-9(b)）

$y=\arctan x$ 是 $y=\tan x(-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2})$ 的反函数，$y=arccotx$ 是 $y=\cot x(0<x<\pi )$ 的反函数

【注】（1）定义域：$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$。值域：$y=\arctan x$ 的值域为 $(-\frac{\pi }{2}，\frac{\pi }{2})$，$y=arccotx$ 的值域为 $(0，\pi )$

（2）单调性：$y=\arctan x$ 单调增加，$y=arccotx$ 单调减少

（3）奇偶性：$y=\arctan x$ 为奇函数（在其定义域内）

（4）有界性：两个函数在其定义域内有界，$-\frac{\pi }{2}<\arctan x<\frac{\pi }{2},0<arccotx<\pi$

（5）性质：$\arctan x+arccotx=\frac{\pi }{2}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$

（6）特殊函数值：$$\begin{gathered} \arctan 0=0,\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6},\arctan 1=\frac{\pi }{4},\arctan \sqrt{3}=\frac{\pi }{3} \\ arccot0=\frac{\pi }{2},arccot\sqrt{3}=\frac{\pi }{6},arccot1=\frac{\pi }{4},arccot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{3} \end{gathered}$$

（7）极限：$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-\frac{\pi }{2},\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=\frac{\pi }{2},\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}arcotx=\pi ,\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}arcotx=0$

⑦ 初等函数

由基本初等函数经有限次的四则运算，以及有限次的复合步骤所构成的并且可以由一个式子所表示的函数称为初等函数。

【注】（1）初等函数的定义域可以是一个区间，也可以是几个区间的并集，甚至可以是一些孤立的点。例如，$y=\sqrt{\cos \pi x-1}$ 的定义域是 $x=0,\pm 2\pm 4,\cdots$

（2）幂指函数 $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$ 也是初等函数

（2）分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。需要强调一句，分段函数是用几个式子来表示的一个（不是几个）函数，一般来说，它不是初等函数。分段函数的典型形式如下：

$$f(x)=\{\begin{array}{lll}& {\phi }_1(x),& x>x_0\\ & a,& x=x_0\\ & {\phi }_2(x),& x<x_0\end{array}\mathrm{或}f(x)=\{\begin{array}{lll}& \phi (x),& x\ne x_0\\ & a,& x=x_0\end{array}$$

分段函数很重要，原因在于其形式的复杂性所带来的命题的丰富性。后面会看到，不论是求极限、求导数，还是求积分，出现最多的研究对象之一便是分段函数。

下面列出三个重要的分段函数。

① 绝对值函数，如图 1-1-10 所示。

$$y=|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

② 符号函数，如图 1-1-11 所示，多余任何实数 x，有 $x=|x|sgnx$

$$y=sgnx=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1& x<0\end{array}$$

③ $y=[x]$ 称为取整函数。先给出定义：设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 [x]。如 [0.99]=0，[π]=3，[-1]=-1，[-1.99]=-2

因此，取整函数 $y=[x]$ 的定义域为 R，值域为 Z。它的图形如图 1-1-12 所示，在 x 为整数值处图形发生跳跃。

从定义出发，以下两点需要读者注意

（i）$x-1<[x]\le x$

（ii）$\underset{x\to 0^{+}}{lim}[x]=0,\underset{x\to 0^{-}}{lim}[x]=-1$

2. 图像变换

图形变换方式一般有如下三种

（1）平移变换

① 将函数 $y=f(x)$ 的图像沿 x 轴向左平移 x₀(x₀>0) 个单位长度，得到函数 $y=f(x+x_0)$ 的图像（如图 1-1-13）；将函数 $y=f(x)$ 的图像沿 x 轴向右平移 x₀(x₀>0) 个单位长度，得到函数 $y=f(x-x_0)$ 的图像（如图 1-1-14）。

② 将函数 $y=f(x)$ 的图像沿 y 轴向上平移 y₀(y₀>0) 个单位长度，得到函数 $y=f(x)+y_0$ 的图像（如图 1-1-15）；将函数 $y=f(x)$ 的图像沿 y 轴向下平移 y₀(y₀>0) 个单位长度，得到函数 $y=f(x）-y_0$ 的图像（如图 1-1-16）。

（2）对称变换

① 将函数 $y=f(x)$ 的图像关于 x 轴对称，得到函数 $y=-f(x)$ 的图像（如图 1-1-17）

② 将函数 $y=f(x)$ 的图像关于 y 轴对称，得到函数 $y=f(-x)$ 的图像（如图 1-1-18）

③ 将函数 $y=f(x)$ 的图像关于原点对称，得到函数 $y=-f(-x)$ 的图像（如图 1-1-19）

④ 将函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称，得到函数 $y=f^{-1}(x)$ 的图像（如图 1-1-20）

⑤ 保留函数 $y=f(x)$ 在 x 轴上方的部分，把 x 轴下方的部分关于 x 轴对称到 x 轴上方并去掉原来下方的部分，得到函数 $y=|f(x)|$ 的图像（如图 1-1-21）

⑥ 保留函数 $y=f(x)$ 在 y 轴及 y 轴右侧的部分，去掉 y 轴左侧的部分，再将 y 轴右侧图像对称到 y 轴左侧，得到函数 $y=f(|x|)$ 的图像（如图 1-1-22）

（3）伸缩变换

① 水平伸缩：$y=f(kx)(k>1)$ 的图像，可由 $y=f(x)$ 的图像上每点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{k}$ 倍且纵坐标不变得到（如图 1-1-23）；$y=f(kx)(0<k<1)$ 的图像，可由 $y=f(x)$ 的图像上每点的横坐标伸长到原来 $\frac{1}{k}$ 倍且纵坐标不变得到。

② 垂直伸缩：$y=kf(x)(k>1)$ 的图像，可由 $y=f(x)$ 的图像上每点的纵坐标伸长到原来的 k 倍且横坐标不变得到（如图 1-1-24）；$y=kf(x)(0<k<1)$ 的图像，可由 $y=f(x)$ 的图像上每点的纵坐标缩短到原来的 k 倍且横坐标不变得到。

（二）极坐标系下的图像 $(g(r,\theta )=0)$

1. 用描点法画常见图像

（1）心形线

下面画出心形线 $r=a(1-\cos \theta )(a>0)$ 的图形

其表达式的右端是以 2π 为周期的周期函数，作图时只要考虑 $0\le \theta \le 2\pi$ 就可以了。并且，对于方程的右端，$\theta$ 换做 $(2\pi -\theta )$ 时，其值不变，也就是说，如 $(\theta ,r)$ 是曲线上的一个点，则 $(2\pi -\theta ,r)$ 也是曲线上的一个点，因此图形以极轴为对称轴，从而只需优先考虑 $0\le \theta \le \pi$。

当 $\theta$ 由 0 增大到 π，$\cos \theta$ 的值由 1 逐渐减小到 -1，从而，r 由 0 逐渐增大到 2a。计算出曲线上的若干个点，列表如下：

$\theta$	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$
r	0	$\frac{2-\sqrt{3}}{2}a$	$\frac{2-\sqrt{2}}{2}a$	$\frac{1}{2}a$	a	$frac32a$	$\frac{2+\sqrt{2}}{2}a$	$\frac{2+\sqrt{3}}{2}a$	2a

描出这些点，连接成一条光滑曲线，然后利用它对极轴的对称性画出全部图形，这条曲线叫作心形线（如图 1-1-25）

（2）玫瑰线

下面画出三叶玫瑰线 $r=a\sin 3\theta (a>0)$ 的图形

其表达式的右端是以$\frac{2\pi }{3}$ 为周期的周期函数，作图时应先考虑 $0\le \theta \le \frac{2\pi }{3}$，然后仿照在这一范围内曲线上的点的变化规律，画出 $\frac{2\pi }{3}\le \frac{4\pi }{3},\frac{4\pi }{3}\le \theta \le 2\pi$ 等范围内的曲线，对于在 $0\le \theta \le \frac{2\pi }{3}$ 范围内的作图方法，仍是采用描点法。计算出曲线上若干个点：

$\theta$	0	$\frac{\pi }{12}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{12}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{7\pi }{12}$	$\frac{2\pi }{3}$
r	0	$\frac{\sqrt{2}}{2}a$	a	$\frac{\sqrt{2}}{2}a$	0	$-\frac{\sqrt{2}}{2}a$	-a	$-\frac{\sqrt{2}}{2}a$	0

描出这些点，连接成一条光滑曲线。这段曲线由弧段 1,2,3,4 构成（如图 1-1-26）。在 $\frac{2\pi }{3}\le \frac{4\pi }{3}$ 的范围内，可以按照同样的规律画出由弧段 5,6,1,2 所构成的曲线，在 $\frac{4\pi }{3}\le \theta \le 2\pi$ 的范围内，同样可画出由弧段 3,4,5,6 所构成的曲线。这样就得到了曲线的全部。这曲线叫作三叶玫瑰线。

（3）阿基米德螺线

下面画出 $r=a\theta (a>0,\theta \ge 0)$ 的图形

当 $\theta (\theta >0)$由 0 增大时，r 亦逐渐增大，这曲线称为阿基米德螺线（如图 1-1-27）

（4）伯努利双纽线

设定线段 AB 长度为 2a，动点 M 满足 MA · MB = a²，那么 M 的轨迹称为双纽线。

取 AB 为 x 轴，中点为原点，那么 A，B 的坐标分别为 (-a,0)，(a,0)。设 M(x,y)，则有 $\sqrt{(x+a{)}^2+y^2}\cdot \sqrt{(x-a{)}^2+y^2}=a^2$

整理得 $(x^2+y^2{)}^2=2a(x^2-y^2)$

在极坐标中，可化简得 $r^2=2a^2\cos 2\theta$

在极坐标中，双纽线的极坐标方程常常写成 $r^2=a^2\cos 2\theta$（如图 1-1-28），或 $r^2=a^2\sin 2\theta$（如图 1-1-29）

比如下面画出 $r^2=a^2\sin 2\theta (a>0)$ 的图像，由 $r=\sqrt{\sin 2\theta }$，知 $\theta$ 的取值范围是 $[0,\frac{\pi }{2}]\cup [\pi ,\frac{3\pi }{2}]$

当 $\theta$ 从 0 增加到 $\frac{\pi }{4}$ 时，r 从 0 增加到 a。故在图 1-1-30(a) 中画出相应的部分；当 $\theta$ 从 $\frac{\pi }{4}$ 增加到 $\frac{\pi }{2}$ 时，r 从 a 减少到 0,。在图 1-1-30(b) 中画出相应的部分；当 $\theta$ 从 π 增加到 $\frac{5\pi }{4}$ 时，r 从 0 增加到 a，在图 1-1-30(c) 中画出相应的部分；当 $\theta$ 从 $\frac{5\pi }{4}$ 增加到 $\frac{3\pi }{2}$ 时，r 从 a 减少到 0，在 1-1-30(d) 画出相应的部分，最后形成一个 "∞" 形图形，这曲线称为伯努利双纽线。

2. 用直角系观点画极坐标系下图形

比较直角坐标方程 y=x，它表示平面上的一条直线，而极坐标方程 $r=\theta$ 表示螺线。以方程的角度看问题，两个方程的形式相同，只是表示变量的字母不同而已，但是由于坐标系不同，它们表示的曲线完全不同（如图 1-1-31，图 1-1-32）。这里启发我们，若较易画出直角坐标系下 $r=f(\theta )$ 的图像，可转化为极坐标系下的曲线图像。

比如 $r=2(1+\cos \theta )$，较易画出其在直角坐标系观点下 $r=f(\theta )$ 的图像。如图 1-1-33 所示，可转化为极坐标系下的图像，如图 1-1-34 所示，若读者掌握此种方法，不失为一个妙招。

（三）参数法——参数方程 $\left(\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}\right)$

前面的（一）与（二）介绍了如何在直角坐标系或极坐标系内用动点坐标 (x, y) 或 (r,$\theta$) 来表示平面内的一些曲线的方程。但在实际问题中，有些曲线用以上的方法来表示比较困难，也就是说很难找到曲线所满足的 f(x,y) = 0 或 $g(r,\theta )=0$ 的式子。这个节目将引入一个新变量（叫作参数）来表示曲线方程，即参数方程。

（1）摆线

设自行车外胎上粘上了一点红色的油漆，当你骑车向前直行时，这个油漆红点就在平面上形成一条轨迹，这轨迹就是摆线。用数学语言描述如下：

当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时，动圆圆周上一个定点的轨迹叫作摆线（如图 1-1-35）

现取已给的这条定直线为 x 轴，其正方形就是圆滚动的方向，当这圆与直线在圆上的定点 A 相切时，就取这点为原点 O。取半径 $\overline{CO}$ 旋转的角度 t 为参数。对于所求运动轨迹上的任何一点 A(x, y)，由图 1-1-36 容易看出

$$\begin{gathered} x=OP=|OQ|-|PQ| \\ |OQ|=\mathrm{圆}\mathrm{弧}\widehat{OA}\mathrm{的}\mathrm{长}\mathrm{度}=rt \\ |PQ|=|A{C}^{\prime }|\sin t=r\sin t \end{gathered}$$

故得 $x=rt-r\sin t$

由图也容易看出 $y=PA=|Q{C}^{\prime }|-|D{C}^{\prime }|=r-r\cos t$

因此，所求定点 A 的运动轨迹的参数方程为

$$\begin{array}{}\text{(*)}& \{\begin{array}{l}x=r(t-\sin t)\\ y=r(1-\cos t)\end{array}\end{array}$$

【注】上面的推到过程只适用于 $0\le t<\frac{\pi }{2}$ 的情况，当 t 取其他任何值时，推导的方法是相仿的，所得结果与 (*) 式完全一样，因此 (*) 式中没有写出 t 的变化范围，这就意味着 t 可取任何实数值。

摆线的图形具有周期性，当 t 增加 2π 时，也就是说，圆滚动一周时，摆线上的点的横坐标增加了 2πr，纵坐标不变，圆继续滚动，圆上的定点 A 就描绘出一拱接一拱的图形，容易看出，从原点开始的第一拱以直线 x = πr 为对称轴，拱顶的坐标为 (πr, 2r)。

要从 (*) 式消去参数 t 是不困难的，但所得 x，y 间的函数表达式较复杂，因此我们常通过 (*) 式来直接研究摆线。

（2）星形线

如图 1-1-37(a) 所示，一个小圆 J 在一个固定的大圆 K 内部作纯滚动，如果大圆半径 r 是小圆半径的 4 倍，那么小圆圆周上任一点 M 的轨迹称为星形线，如图 1-1-37(b) 所示。

此轨迹方程的推导过程要用到较繁杂的几何知识与三角公式，不作要求，读者记住它的参数方程表示式即可，则表达式为

$$\{\begin{array}{l}x=r{\cos }^{3}t\\ y=r{\sin }^{3}t\end{array}$$

若消去 t，可得 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=r^{\frac{2}{3}}$，此为直角坐标方程。

三、常用基础知识

1. 数列

（1）等差数列

首项为 a₁，公差为 d(d ≠ 0) 的数列 a₁，a₁+d, a₁+2d, ..., a₁+(n-1)d, ...

① 通项公式 a_n = a₁ + (n-1)d

② 前 n 项的和 $S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

（2）等比数列

首项为 a₁，公比为 r(r ≠ 0) 的数列 a₁，a₁r，a₁r², ..., a₁r^n-1, ...

① 通项公式 a_n = a₁r^n-1

② 前 n 项的和 $S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& r=1\\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}& r\ne 1\end{array}$

③ 常用 $1+r+r^2+\cdots +r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}(r\ne 1)$

（3）一些常见数列前 n 项的和

① $\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

② $\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

③ $\sum _{k=1}n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}$

2. 三角函数

（1）三角函数基本关系

$$\begin{gathered} \csc a=\frac{1}{\sin a},\sec a=\frac{1}{\cos a},\cot a=\frac{1}{\tan }a,\tan a=\frac{\sin a}{\cos a},\cot a=\frac{\cos a}{\sin a} \\ {\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1,1+{\tan }^{2}a={\sec }^{2}a,1+{\cot }^{2}a={\csc }^{2}a \end{gathered}$$

（2）诱导公式

角 $\theta$ → 函数 ↓	$\frac{\pi }{2}-a$	$\frac{\pi }{2}+a$	$\pi -a$	$\pi +a$	$\frac{3\pi }{2}-a$	$\frac{3\pi }{2}+a$	$2\pi -a$
$\sin \theta$	$\cos a$	$\cos a$	$\sin a$	$-\sin a$	$-\cos a$	$-\cos a$	$-\sin a$
$\cos \theta$	$\sin a$	$-\sin a$	$-\cos a$	$-\cos a$	$-\sin a$	$\sin a$	$\cos a$
$\tan \theta$	$\cot a$	$-\cot a$	$-\tan a$	$\tan a$	$\cot a$	$-\cot a$	$-\tan a$
$\cot \theta$	$\tan a$	$-\tan a$	$-\cot a$	$\cot a$	$\tan a$	$-\tan a$	$-\cot a$

【注】如上表所示，奇变偶不变，符号看象限（因任一角度均可表示为 $\frac{k\pi }{2}+a,k\in Z,|a|<\frac{\pi }{4}$，故 k 为奇数时得角 a 的异名函数值，k 为偶数时得角 a 的同名函数值，然后在前面加上一个把角 a 看作锐角时原来函数值 符号）

三角函数在四个象限中的符号如下表所示。

角 $\theta$ 所在象限 → 函数 ↓	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限
$\sin \theta$	+	+	-	-
$\cos \theta$	+	-	-	+
$\tan \theta$	+	-	+	-
$\cot \theta$	+	-	+	-

（3）特殊的三角函数值如下表所示

a	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	270°	360°
	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{4}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
$\sin \theta$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0
$\cos \theta$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$-\frac{\sqrt{3}}{2}$	-1	0	1
$\tan \theta$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	$-\sqrt{3}$	-1	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	$\mathrm{\infty }$	0
$\cot \theta$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	0	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	-1	$-\sqrt{3}$	$\mathrm{\infty }$	0	$\mathrm{\infty }$

【注】（1）$\sec a$ 和 $\csc a$ 的函数值可由 $\frac{1}{\cos a}$ 和 $\frac{1}{\sin a}$ 得出

（2）表格中的 “∞” 均是指极限结果，如 tan 90° 处的 “∞”，是指 $\underset{x\to {90}^{\circ }\tan x=\mathrm{\infty }}{lim}$

（4）重要公式

① 倍角公式

$\begin{array}{rl}& \sin 2a=2\sin a\cos a,\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=1-2{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1,\\ & \sin 3a=-4{\sin }^{3}a+3\sin a,\cos 3a=4{\cos }^{3}a-3\cos a,\\ & \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a},\cot 2a=\frac{{\cot }^{2}a-1}{2\cot a}\end{array}$

② 半角公式

$\begin{array}{rl}& {\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1}{2}(1-\cos a),{\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos a),(\mathrm{降}\mathrm{幂}\mathrm{公}\mathrm{式})\\ & \sin \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{2}},\cos \frac{a}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{2}},\\ & \tan \frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{\sin a}=\frac{\sin a}{1+\cos a}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos a}{1+\cos a}}\\ & \cot \frac{a}{2}=\frac{\sin a}{1-\cos a}=\frac{1+\cos a}{\sin a}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos a}{1-\cos a}}\end{array}$

③ 和差公式

$\begin{array}{rl}& \sin (a\pm b)=\sin a\cos b\pm \cos a\sin b,\cos (a\pm b)=\cos a\cos b\mp \sin a\sin b\\ & \tan (a\pm b)=\frac{\tan a\pm \tan b}{1\mp \tan a\tan b},\cot (a\pm b)=\frac{\cot a\cot b\mp 1}{\cot b\pm \cot a}\end{array}$

④ 和积化差与和差化积公式

（i）积化和差公式

$\begin{array}{rl}& \sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)],\cos a\sin b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)-\sin (a-b)],\\ & \cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)],\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\end{array}$

（ii）和差化积公式

$\begin{array}{rl}& \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2},\sin a-\sin b=2\sin \frac{a-b}{2}\cos \frac{a+b}{2}\\ & \cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2},\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

⑤ 万能公式

若 $u=\tan \frac{x}{2}(-\pi <x<\pi )$，则 $\sin x=\frac{2u}{1+u^2},\cos x=\frac{1-u^2}{1+u^2}$

3. 指数运算法则

$a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta },\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta },(a^{\alpha }{)}^{\beta }=a^{\alpha \beta },(ab{)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha },(\frac{a}{b}{)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$

其中，a，b 是正实数，$\alpha ,\beta$ 是任意实数

4. 对数运算法则

① ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$（积的对数=对数的和）

② ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$（商的对数=对数的差）

③ ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$（幂的对数=对数的倍数）

④ ${\log }_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}{\log }_{a}M$

5. 一元二次方程基础

① 一元二次方程 ax²+bx+c=0(a ≠ 0)

② 根的公式 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

③ 根与系数的关系（韦达定理） $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

④ 判别式 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

$\mathrm{\Delta }>0$ ，方程有两个不等的实根；$\mathrm{\Delta }=0$，方程有两个相等的实根；$\mathrm{\Delta }<0$，方程有两个共轭的复根

⑤ 抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$ 的顶点 $(-\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$

6. 因式分解公式

① $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

② $(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

③ $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$

④ $(a-b{)}^3=a^3-a^{2}b+3a{b}^2-b^3$

⑤ $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

⑥ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

⑦ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

⑧ $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-1}-b^{n-1})$（n 是正整数）

⑨ n 是正偶数时，$a^n-b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-1}-b^{n-1})$

⑩ n 是正奇数时，$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a{b}^{n-1}+b^{n-1})$

⑪ 二项式定理

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k=a^n+n{a}^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}{a}^{n-2}{b}^2+\cdots +\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}{a}^{n-k}{b}^k+\cdots +na{b}^{n-1}+b^n$

7. 阶乘与双阶乘

① $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot n$，规定 0! = 1

② $(2n)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (2n)=2^n\cdot n!$

③ $(2n-1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (2n-1)$

8. 常用不等式

（1）设 a，b 为实数，则 ① $|a+b|\le |a|+|b|$；② $||a|-|b||\le |a-b|$

【注】可以将上述不等式 ① 推广为

离散情况：设 a₁, a₂,..., a_n 为实数，则 $|a_1\pm a_2\pm \cdots \pm a_n|\le |a_1|+|a_2|+\cdots +|a_n|$

连续情况，设 f(x) 在 $[a,b](a<b)$ 上可积，则 $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

（2）① $\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$

② $\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}(a,b,c>0)$

（3）设 a > b >0，则 $\{\begin{array}{l}\mathrm{当}n>0\mathrm{时}，a^n>b^n\\ \mathrm{当}n<0\mathrm{时}，a^n<b^n\end{array}$

（4）若 $0<a<x<b,0<c<y<d$，则 $\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$

（5）$\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2})$

（6）$\sin x<x(x>0)$

（7）$\arctan x\le x\le \arcsin x(0\le x\le 1)$

（8）$e^x\ge x+1(\mathrm{\forall }x)$

（9）$x-1\ge \ln x(x>0)$

（10）$\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

【注】证明 令 f(x)=lnx，并在区间 [x, x+1] 上对其应用拉格朗日中值定理，有

$\ln (1+\frac{1}{x})=\ln (1+x)-\ln x=\frac{1}{\xi }$

其中 $0<x<\xi <x+1$，因此，对任意的 x > 0，有 $\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})=\frac{1}{\xi }<\frac{1}{x}$