第 14 讲 专题内容

一、一元函数微分学应用

1. 物理应用

已知质点运动的位移 s 关于时间 t 的函数为 $s=s(t)$，称它为质点的运动方程（位移方程），则其速度为

$$v=\underset{\mathrm{△}t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}s}{\mathrm{△}t}=s^{\prime }(t)$$

其加速度为

$$a(t)=\underset{\mathrm{△}t\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}v}{\mathrm{△}t}=v^{\prime }(t)=s^{\prime }(t)$$

这就是导数的物理意义。

2. 相关变化率

若 $y=f(x)$，$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}$ 这些函数均可导，则 $\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dt}=f^{\prime }(x)\frac{dx}{dt}$，上式中，$\frac{dy}{dt}$ 与 $\frac{dx}{dt}$ 由 $f^{\prime }(x)$ 联系在一起，称这种相互关联的变化率为相关变化率。

3. 几何应用

设 $y(x)$ 二阶可导，则曲线 $y=y(x)$ 在其上点 $(x,y(x))$ 处的曲率公式为

$$k=\frac{|y^{″}|}{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$$

曲率半径的计算公式

$$R=\frac{1}{k}=\frac{[1+(y^{\prime }{)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}{|y^{″}|}(y^{″}\ne 0)$$

二、一元函数积分学应用

1. 物理应用

（1）变力沿直线做功。

设方向沿 x 轴正向的力函数为 $F(x)(a\le x\le b)$，则物体沿 x 轴从点 a 移动到点 b 时（如图 1-15-1），变力 $F(x)$ 所做的功为

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

功的元素 $dW=F(x)dx$

【注】力关于路程的定积分就是功。

（2）抽水做功

如图 1-15-2 所示，将容器中的水全部抽出所做的功为

$$W=\rho g{\int }_a^{b}xA(x)dx$$

其中 $\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度。

功的元素 $dW=\rho gxA(x)dx$ 为位于 x 处厚度为 dx，水平截面面积为 $A(x)$ 的一层水被抽出（路程为 x）所做的功。

【注】抽水做功的特点：力（重力）不变，路程在变。求解这类问题的关键是确定 x 处的水平截面面积 $A(x)$，其余的量都是固定的。

（3）水压力

垂直浸没在水中的平板 ABCD（如图 1-15-3）的一侧受到的水压力为

$$P=\rho g{\int }_a^{b}x[f(x)-h(x)]dx$$

其中 $\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度。

压力元素 $dP=\rho gx[f(x)-h(x)]dx$ 是图中矩形条所受到的压力。x 表示水深，$f(x)-h(x)$ 是矩形条的宽度，dx 是矩形条的高度。

【注】水压力问题的特点：压强随水的深度的改变而改变。求解这类问题的关键是确定水深 x 处的平板的宽度 $f(x)-h(x)$。

2. 几何应用

（1）“平面上的曲边梯形” 的形心坐标公式。

设平面区域 $D=\{(x,y)|0\le y\le f(x),a\le x\le b\}$，$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，如图 1-15-4 所示。现推导 D 的形心坐标 $\bar{x},\bar{y}$ 的计算公式。

$$\begin{gathered} \bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}xdy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx} \\ \bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }yd\sigma }{\underset{D}{\iint }d\sigma }=\frac{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}ydy}{{\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx} \end{gathered}$$

（2）平面曲线的弧长。

① 若平面光滑曲线由直角坐标方程 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 给出，则 $s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$。

② 若平面光滑曲线由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\end{array}(\alpha \le t\le \beta )$ 给出，则 $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$。

③ 若平面光滑曲线由极坐标方程 $r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$ 给出，则 $s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$。

（3）旋转曲面的表面积。

① 曲线 $y=y(x)$ 在区间 [a, b] 上的曲线弧段绕 x 轴旋转一周所得的旋转曲面的表面积

$$S=2\pi {\int }_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}dx$$

② 曲线 $x=x(t),y=y(t)(\alpha \le t\le \beta ,x^{\prime }(t)\ne 0)$ 在区间 $[\alpha ,\beta ]$ 上的曲线弧段绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的表面积

$$S=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$$

（4）平行截面面积为已知的立体体积。

在区间 [a, b] 上，垂直于 x 轴的平面截立体 $\mathrm{\Omega }$ 所得到的截面面积为 x 的连续函数 $A(x)$，则 $\mathrm{\Omega }$ 的体积为

$$V={\int }_a^{b}A(x)dx$$

【注例 1】设一个底面半径为 3 的圆柱体，被一个与圆柱的底面相交、夹角为 $\frac{\pi }{4}$ 且过底面直径 AB 的平面所截，求截下的楔形体的体积。

解 建立如图 1-15-5 所示的坐标系，垂直于 x 轴的截面是直角三角形，由题设条件，这个直角三角形的底边长为 $\sqrt{3^2-x^2}$，对边长为 $\sqrt{3^2-x^2}\tan \frac{\pi }{4}=\sqrt{3^2-x^2}$。

故截面面积 $S=\frac{1}{2}(3^2-x^2)$，则 $V={\int }_{-3}^3\frac{1}{2}(3^2-x^2)dx=18$。

三、微分方程的物理应用

主要涉及以下两个方面的问题

（1）牛顿第二定律

相关物理量有 ① 物体质量 m；② 力（包括重力、阻力、浮力）f；③ 加速度 $a=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$。

（2）变化率问题

提法多为 “t 时刻某量 y 对 t 的变化率与 t 时刻某量成正比”，

① 考题 1（事实上此题叫冷却定律）

“t 时刻物体温度 T(t) 对时间的变化率与 t 时刻物体和介质的温差 T-T₀ 成正比”，应写成 $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)$，负号代表 $\frac{dT}{dt}<0$（温度随着时间的增加而降低）。

② 考题 2

题设总人数 N，“t 时刻已掌握新技术的人数 x 的变化率和已掌握新技术与未掌握新技术的人数之积成正比”，应写成 $\frac{dx}{dt}=+kx(N-x)$，正号代表 $\frac{dx}{dt}>0$（人数随着时间增加而增多）。