第 5 讲 特征值与特征向量

一、基本概念

设 A 是 n 阶矩阵，$\lambda$ 是一个数，若存在 n 维非零向量 $\xi \ne 0$，使得

$$A\xi =\lambda \xi$$

则称 $\lambda$ 是 A 的特征值，$\xi$ 是 A 的对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

二、基本性质

1. 特征值的性质

设 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，${\lambda }_i(1,2,\cdots ,n)$ 是 A 的特征值，则

① $\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=tr(A)$

② $\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$

2. 特征向量的性质

（1）k 重特征值 $\lambda$ 至多只有 k 个线性无关的特征向量。

（2）若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 是 A 的属于不同特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的特征向量，则 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 线性无关。

（3）若 ${\xi }_1,{\xi }_2$ 是 A 的属于同一个特征值 $\lambda$ 的特征值向量，则 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2(k_1,k_2\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{时}\mathrm{为}\mathrm{零}\mathrm{的}\mathrm{任}\mathrm{意}\mathrm{常}\mathrm{数})$ 仍是 A 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

（1）求解具体型矩阵的特征值与特征向量，一般用 “特征方程法”，即先用特征方程 $|\lambda E-A|=0$ 求出 $\lambda$，再解齐次线性方程组 $(\lambda E-A)x=0$，求出特征向量。

（2）A 以及与 A 有关的常用矩阵的特征值和特征向量，总结如下：

矩阵	A	kA	$A^k$	f(A)	$A^{-1}$	$A^{\ast }$	P^{-1}AP
特征值	$\lambda$	$k\lambda$	${\lambda }^k$	$f(\lambda )$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{|A|}{\lambda }$	$\lambda$
对应的特征向量	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$\xi$	$P^{-1}\xi$

表中 $\lambda$ 在分母上，设 $\lambda \ne 0$

（3）$f(x)$ 为多项式，若矩阵 A 满足 $f(A)=0$，$\lambda$ 是 A 的任意特征值，则 $\lambda$ 满足 $f(\lambda )=0$

（4）$A^T$ 的特征值与 A 相同，但特征向量不再是 $\xi$，要单独计算才能得出。

三、矩阵的相似

1. 定义

设 A，B 是两个 n 阶方阵，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，则称 A 相似于 B，记成 $A\sim B$

【注】（1）$A\sim A$（反身性）

（2）若 $A\sim B$，则 $B\sim A$（对称性）

（3）若 $A\sim B,B\sim C$，则 $A\sim C$（传递性）

2. 相似矩阵的性质

（1）若 $A\sim B$，则有：① $r(A)=r(B)$；② $|A|=|B|$；③ $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$；④ A，B 有相同的特征值。

【注】以上结论，反之不成立。

特征值相同两个矩阵相似的必要条件。

（2）若 $A\sim B$，则 $A^m\sim B^m,f(A)\sim f(B)$（其中 $f(x)$ 是多项式）。

（3）若 $A\sim B$，且 A 可逆，则 $A^{-1}\sim B^{-1},f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$（其中 $f(x)$ 是多项式）。

【注】证明 $A\sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，两边取逆，有 $P^{-1}{A}^{-1}P=B^{-1}$，故 $A^{-1}\sim B^{-1}$，由 （2）知 $f(A^{-1})\sim f(B^{-1})$。

（4）若 $A\sim B$，则 $A^T\sim B^T$

【注】证明 $A\sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，两边取转置，有 $P^T{A}^T(P^{-1}{)}^T=B^T$，即 $P^T{A}^T(P^T{)}^{-1}=B^T$，故 $A^T\sim B^T$。

（5）若 $A\sim B$，且 A 可逆，则 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$。

【注】证明 $A\sim B$，则存在可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=B$，两边取伴随运算，有 $P^{\ast }{A}^{\ast }(P^{-1}{)}^{\ast }=B^{\ast }$，即 $P^{\ast }{A}^{\ast }(P^{\ast }{)}^{-1}=B^{\ast }$，故 $A^{\ast }\sim B^{\ast }$。

四、矩阵的相似对角化

1. 定义

设 n 阶矩阵 A，若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$，其中 $\mathrm{\Lambda }$ 是对角矩阵，则称 A 可相似对角化，记 $A\sim \mathrm{\Lambda }$，称 $\mathrm{\Lambda }$ 是 A 的相似标准形。

2. 矩阵可相似对角化的条件

由定义可知，若 A 可相似对角化，即 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$，其中 P 可逆，等式两边同时左乘 P，有 $AP=P\mathrm{\Lambda }$，记

$$P=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n],\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

则

$$A=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$$

即 $[A{\xi }_1,A{\xi }_2,\cdots ,A{\xi }_n]=[{\lambda }_1{\xi }_1,{\lambda }_2{\xi }_2,\cdots ,{\lambda }_n{\xi }_n]$

也即 $A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i,i=1,2,\cdots ,n$

由 P 可逆，则 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$ 线性无关。上述过程可逆，于是

① n 阶矩阵 A 可相似对角化 $\iff$ A 中有 n 个线性无关的特征向量。

由 k 重特征值 $\lambda$ 至多只有 k 个线性无关的特征向量，得

② n 阶矩阵 A 可相似对角化 $\iff$ A 对应于每个 $k_i$ 重特征值都有 $k_i$ 个线性无关的特征向量。

由对应于不同特征值的特征向量线性无关，得

③ n 阶矩阵 A 有 n 个不同特征值 $\Rightarrow$ A 可相似对角化

④ n 阶矩阵 A 为实对称矩阵 $\Rightarrow$ A 可相似对角化

五、实对称矩阵比可相似于对角矩阵

若 $A^T=A$，则 A 为对称矩阵，进一步，若组成 A 的元素都是实数，则 A 为实对称矩阵。

（1）A 是实对称矩阵，则 A 的特征值是实数，特征向量是实向量。

（2）实对称矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交。

（3）实对称矩阵 A 必相似于对角矩阵，即必有 n 个线性无关的特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n$，即必有可逆矩阵 $P=[{\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_n]$，使得 $P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$，其中 $\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2\\ & & \ddots \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$ 且存在正交矩阵 Q，使得 $Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\mathrm{\Lambda }$，故 A 正交相似于 $\mathrm{\Lambda }$。