第 4 讲 一元函数微分学的概念与计算

一、概念

1. 导数的概念

设 $y=f(x)$ 定义在区间 $I$ 上，让自变量在 $x=x_0$ 处加一个增量 $\mathrm{△}x$（可正可负），其中 $x_0\in I,x_0+\mathrm{△}x\in I$，则可得函数的增量 $\mathrm{△}y=f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)$。若函数增量 $\mathrm{△}y$ 与自变量增量 $\mathrm{△}x$ 的比值在 $\mathrm{△}x\to 0$ 时的极限存在，即 $\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}y}{\mathrm{△}x}$ 存在，则称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$ ，即

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}y}{\mathrm{△}x}=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)}{\mathrm{△}x}$$

当然，$\frac{dy}{dx}{\mid }_{x=x_0},\frac{df(x)}{dx}{\mid }_{x=x_0},y^{\prime }(x_0)\mathrm{或}{y}^{\prime }{\mid }_{x=x_0}$ 这些符号记法与 $f^{\prime }(x_0)$ 等价。

【注】（1）$f^{\prime }(x_0)=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)}{\mathrm{△}x}=\underset{\mathrm{狗}\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{狗})-f(x_0)}{\mathrm{狗}}$

（2）令 $x_0+\mathrm{△}x=x$，则可将导数定义式写成 $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

（3）下面这三种提法是等价的

（i）$y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导

（ii）$y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处导数存在

（iii）$f^{\prime }(x_0)=A$（A 为有限数）

（4）单侧导数

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{△}x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)}{\mathrm{△}x}=f_{-}^{\prime }(x_0)（\mathrm{左}\mathrm{导}\mathrm{数}） \\ \underset{\mathrm{△}x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)}{\mathrm{△}x}=f_{+}^{\prime }(x_0)（\mathrm{右}\mathrm{导}\mathrm{数}） \end{gathered}$$

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是其左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 与右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 均存在且相等

2. 微分的概念

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内有定义，且 $x_0+\mathrm{△}x$ 在该邻域内，对于函数增量

$$\mathrm{△}y=f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)$$

若存在与 $\mathrm{△}x$ 无关的常数 A，使得 $\mathrm{△}y=A\mathrm{△}x+o(\mathrm{△}x)$，其中 $o(\mathrm{△}x)$ 是在 $\mathrm{△}x\to 0$ 时比 $\mathrm{△}x$ 更高阶的无穷小，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，并称 $A\mathrm{△}x$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记作 $dy{\mid }_{x=x_0}=A\mathrm{△}x\mathrm{或}\mathrm{者}df(x){\mid }_{x=x_0}=A\mathrm{△}x$，又 $\mathrm{△}x=dx$，故 $dy{\mid }_{x=x_0}=Adx$

【注】（1）可微的判别

① 写增量 $\mathrm{△}y=f(x_0+\mathrm{△}x)-f(x_0)$

② 写线性增量 $A\mathrm{△}x=f^{\prime }(x_0)\mathrm{△}x$

③ 作极限 $\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{△}y-A\mathrm{△}x}{\mathrm{△}x}$

若该极限等于 0，则 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，否则不可微

二、导数与微分的计算

1. 四则运算

若以下函数均可导，则

和、差的导数（微分）  $[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x),d[[u(x)\pm v(x)]=du(x)\pm dv(x)$

积的导数（微分）  $[u(x)v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x),d[u(x)v(x)]=u(x)dv(x)+v(x)du(x)$

商的导数（微分）  $$\begin{gathered} [\frac{u(x)}{v(x)}{]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{[v(x){]}^2},v(x)\ne 0 \\ d[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)du(x)-u(x)dv(x)}{[v(x){]}^2},v(x)\ne 0 \end{gathered}$$

2. 分段函数的导数

设 $f(x)=\{\begin{array}{l}{f}_1(x),x\ge x_0,\\ f_2(x),x<x_0\end{array}$，则 $f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f_1(x)-f(x_0)}{x-x_0},f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f_2(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，根据 $f_{+}^{\prime }(x_0)\stackrel{?}{=}{f}_{-}^{\prime }(x_0)$ 来判定 $f^{\prime }(x_0)$

3. 复合函数的导数与微分形式不变性

设 $u=g(x)$ 在点 $x$（没有下标是泛指的点，下同），处可导，$y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导，则

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}& \{f[g(x)]{\}}^{\prime }=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x),\\ \\ & d\{f[g(x)]\}=f^{\prime }[g(x)]g^{\prime }(x)dx\end{array}\end{array}$$

（1）式就是微分形式的不变性——无论 u 是中间变量还是自变量，$dy=f^{\prime }(u)du$ 都成立。

【注】$\{f[g(x)]{\}}^{\prime }=\frac{d\{f[g(x)]\}}{dx}$，而 $f^{\prime }[g(x)]=\frac{d\{f[g(x)]\}}{dg(x)}$

4. 反函数的导数

设 $y=f(x)$ 可导，且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则存在反函数 $x=\phi (y)$，且 $\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$，即 ${\phi }^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

5. 参数方程所确定的函数的导数

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}$ 确定，其中 t 是参数，且 $\phi (t),\psi (t)$ 均对 t 可导，${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

6. 隐函数求导法

设函数 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的可导函数，则

① 方程 $F(x,y)=0$ 两边对自变量 x 求导，注意 $y=y(x)$，即将 y 看作中间变量，得到一个关于 $y^{\prime }$ 的方程

② 解该方程便可求出 $y^{\prime }$

7. 对数求导法

对于多项相乘、相除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导，设 $y=f(x)(f(x)>0)$，则

① 等式两边取对数，得 $\ln y=\ln f(x)$

② 两边对自变量 x 求导（同样注意 $y=f(x)$，即将 y 看作中间变量），得

$$\frac{1}{y}{y}^{\prime }=[\ln f(x){]}^{\prime }\Rightarrow y^{\prime }=y[\ln f(x){]}^{\prime }$$

8. 幂指函数求导法

对于 $u(x{)}^{v(x)}(u(x)>0,u(x)\ne 1)$，除了用上面的对数求导法外，还可以先化成指数函数 $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$，然后求导，得

$$[u(x{)}^{v(x)}{]}^{\prime }=[e^{v(x)\ln u(x)}{]}^{\prime }=u(x{)}^{v(x)}[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\cdot \frac{u^{\prime }(x)}{v(x)}]$$

9. 高阶导数

高阶导数主要是三种方法

（1）归纳法

逐次求导，探索规律，得出通式

（2）高阶求导公式

莱布尼茨公式

$(uv{)}^{(n)}=u^{(n)}v+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+C_n^2{u}^{(n-2)}{v}^{″}+\cdots +C_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}+\cdots +C_n^{n-1}{u}^{\prime }{v}^{(n-1)}+u{v}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$

（3）泰勒公式

（i）$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+\cdots ,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

（ii）$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n=1-x+x^2-x^3+\cdots +(-1{)}^n{x}^n+\cdots ,-1<x<1$

（iii）$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n=1+x+x^2+\cdots +x^n+\cdots ,-1<x<1$

（iv）$\ln (x+1)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+\cdots ,-1<x\le 1$

（v）$\sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots ,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

（vi）$\cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+\cdots ,-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }$

（vii）$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+\cdots +\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n+\cdots ,\{\begin{array}{ll}x\in (-1,1),& \mathrm{当}\alpha \le -1\\ x\in (-1,1],& \mathrm{当}-1<\alpha <0\\ x\in [-1,1],& \mathrm{当}\alpha >0\end{array}$

【注】（1）参数方程确定的函数的二阶导数

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$ 确定，且 $\phi (t),\psi (t)$ 均二阶可导，${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，其中 t 是参数，则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)},\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{dy}{dx})/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{″}(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{″}(t)}{[{\phi }^{\prime }(t){]}^3}$$

（2）反函数的二阶导数

在 $y=f(x)$ 二阶可导的情况下，记 $f^{\prime }(x)=y_x^{\prime },{\phi }^{\prime }(y)=x_y^{\prime }(x_y^{\prime }\ne 0)$，则有

$$y_x^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x_y^{\prime }},y_{xx}^{″}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x_y^{\prime }})}{dx}=\frac{d(\frac{1}{x_y^{\prime }})}{dy}\cdot \frac{1}{x_y^{\prime }}=\frac{--x_{yy}^{″}}{(x_y^{\prime }{)}^3}$$

反过来，则有

$$x_y^{\prime }=\frac{1}{y_x^{\prime }},x_{yy}^{″}=\frac{-y_{xx}^{″}}{(y_x^{\prime }{)}^3}$$

10. 变限积分求导公式

设 $F(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt$，其中 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，可导函数 ${\phi }_1(x)$ 和 $ \varphi_2(x)$ 的值域在 $[a,b]$ 上，则在函数 ${\phi }_1(x)$ 和 $ \varphi_2(x)$ 的公共定义域上，有

$$F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\phi }_2(x)]{\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_1(x)]{\phi }_1^{\prime }(x)$$

11. 基本求导公式

$$\begin{array}{rl}& (x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}(a\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数})，(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1),(e^x{)}^{\prime }=e^x,({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)\\ \\ & (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\arcsin {)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \\ & (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x,(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ \\ & (arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2},(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x,(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\\ \\ & [\ln (x+\sqrt{x^2+1}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},[\ln (x+\sqrt{x^2-1}){]}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\end{array}$$