第 6 讲 中值定理

1. 涉及函数的中值定理

设 $f(x)$ 在 [a, b] 上连续，则

定义 1（有界与最值定理）    $m\le f(x)\le M$，其中 m，M 分别为 $f(x)$ 在 [a, b] 上的最小值与最大值

定理 2（介值定理）    当 $m\le \mu \le M$ 时，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\mu$

（导数介值定理） 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，若 $f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$，则对于任意的介于 $f_{+}^{\prime }(a)$ 与 $f_{-}^{\prime }(b)$ 之间的 $\mu$，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=\mu$

证明 因 $f_{+}^{\prime }(a)\ne f_{-}^{\prime }(b)$，不妨设 $f_{+}^{\prime }(a)<f_{-}^{\prime }(b)$。并设 $F(x)=f(x)-\mu x$，则函数 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F_{+}^{\prime }(a)=f_{+}^{\prime }(a)-\mu <0,F_{-}^{\prime }(b)=f_{-}^{\prime }(b)-\mu >0$，于是，

$$\{\begin{array}{l}{F}_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{F(x)-F(a)}{x-a}<0\\ F_{-}^{\prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{lim}\frac{F(x)-F(b)}{x-b}<0\end{array}$$

根据极限的保号性，知：

在点 $x=a$ 的某个右邻域内，$\frac{F(x)-F(a)}{x-a}<0$，即 $F(x)<F(a)$;

在点 $x=b$ 的某个左邻域内，$\frac{F(x)-F(b)}{x-b}>0$，即 $F(x)<F(b)$;

故 $F(a)$ 和 $F(b)$ 均不是函数 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值，又因 $F(x)$ 一定可以取得最小值，则其最小值必在 $(a,b)$ 内取到，设函数 $F(x)$ 在 $(a,b)$ 内最小值点是 $\xi$，根据费马定理，得 $F^{\prime }(\xi )=0$，即 $f^{\prime }(\xi )=\mu$

定理 3（平均值定理）    当 $a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得

$$f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$$

定理 4（零点定理）    当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=0$

2. 涉及导数（微分）的中值定理

定理 5（费马定理）    设 $f(x)$ 满足在 $x_0$ 点处 $\{\begin{array}{l}\mathrm{①}\mathrm{可}\mathrm{导}\\ \mathrm{②}\mathrm{取}\mathrm{极}\mathrm{值}\end{array}$，则 $f^{\prime }(x)=0$

【注】（1）要求考生掌握费马定理的证明

不妨假设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得极大值，则存在 $x_0$ 的邻域 $U(x_0)$，对任意的 $x\in U(x_0)$，都有 $\mathrm{△}f=f(x)-f(x_0)\le 0$，于是根据导数的定义与极限的保号性，有

$$\begin{gathered} f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0, \\ {f}_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0, \end{gathered}$$

又 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，于是 $f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)$，故 $f^{\prime }(x_0)=0$

（2）当一个人跑到最远处时，他的速度为零；当一个人跑得最快时，他的加速度为零。这些都是费马定理在生活中的通俗应用。

（导数零点定理） 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，证明当 $f_{+}^{\prime }(a)\cdot f_{-}^{\prime }(b)<0$，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

证明 不妨设 $f_{+}^{\prime }(a)>0,f_{-}^{\prime }(b)<0$，于是

$f_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0\Rightarrow$ 存在 ${\xi }_1>0$，在 $(a,a+{\xi }_1)$ 内，$f(x)>f(a)$

$f_{-}^{\prime }(b)=\underset{x\to b^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(b)}{x-b}<0\Rightarrow$ 存在 ${\xi }_2>0$，在 $(b-{\xi }_2,b)$ 内，$f(x)>f(b)$

故 $f(a)$ 与 $f(b)$ 均不是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，则 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内取得最大值，根据费马定理可知，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$。

定理 6（罗尔定理）

设 $f(x)$ 满足 $\{\begin{array}{l}\mathrm{①}\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\\ \mathrm{②}\mathrm{在}(a,b)\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导}，\\ \mathrm{③}f(a)=f(b)，\end{array}$ 则存在$\xi \in (a,b)$，使得 $f^{\prime }(\xi )=0$

【注】推广的罗尔定理

（1）设 $f(x)$ 在 (a,b) 内可导，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=A$，则在 (a, b) 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

（2）设 $f(x)$ 在 (a,b) 内可导，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$，则在 (a, b) 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

（3）设 $f(x)$ 在 $(a,+\mathrm{\infty })$ 内可导，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$，则在 $(a,+\mathrm{\infty })$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

（4）设 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内可导，$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$，则在 $(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f^{\prime }(\xi )=0$

罗尔定理的使用

（1）常用乘积求导公式 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ 的逆用来制造辅助函数

① $[f(x)f(x){]}^{\prime }=[f^2(x){]}^{\prime }=2f(x)\cdot f^{\prime }(x)$，见到 $f(x)f^{\prime }(x)$，作 $F(x)=f^2(x)$

② $[f(x)\cdot f^{\prime }(x){]}^{\prime }=[f^{\prime }(x){]}^2+f(x)f^{″}(x)$，见到 $[f^{\prime }(x){]}^2+f(x)f^{″}(x)$，作 $F(x)=f(x)f^{\prime }(x)$

③ $[f(x)e^{\phi (x)}{]}^{\prime }=f^{\prime }(x)e^{\phi (x)}+f(x)e^{\phi (x)}\cdot {\phi }^{\prime }(x)=[f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)]e^{\phi (x)}$，见到 $f^{\prime }(x)+f(x){\phi }^{\prime }(x)$，作 $F(x)=f(x)e^{\phi (x)}$

7. 定理 7（拉格朗日中值定理）

设 $f(x)$ 满足 $\{\begin{array}{l}\mathrm{①}\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\\ \mathrm{②}\mathrm{在}(a,b)\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导}，\end{array}$ 则存在 $\xi \in (a,b)$，使得

$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$

或者写成

$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

定理 8（柯西中值定理）

设 $f(x),g(x)$ 满足 $\{\begin{array}{l}\mathrm{①}\mathrm{在}[a,b]\mathrm{上}\mathrm{连}\mathrm{续}，\\ \mathrm{②}\mathrm{在}(a,b)\mathrm{内}\mathrm{可}\mathrm{导}，\\ \mathrm{③}{g}^{\prime }(x)\ne 0，\end{array}$ 则存在 $\xi \in (a,b)$ 使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}$$

定理 9（泰勒公式）

（1）带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内 n+1 阶导数存在，则对该邻域内的任意点 x，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

其中，$\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间

（2）带佩亚诺余项的 n 阶泰勒公式

设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处 n 阶可导，则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任意点，有

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2!}{f}^{″}(x_0)(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)$$

【注 1】当 $x_0=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式

（1）$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$，其中 $\xi$ 介于 0 和 x 之间

（2）$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

【注 2】几个重要函数的麦克劳林展开式

（1）$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n)$

（2）$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+0(x^{2n+1})$

（3）$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})$

（4）$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$

（5）$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots +(-1{)}^n{x}^n+o(x^n)$

（6）$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

（7）$(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{a(a-1)\cdots (a-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

定理 10（积分中值定理）    设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

证明 因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在最大值 M 与最小值 m，使得

$$m(b-a)\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le M(b-a)$$

故

$$m\le \frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx\le M$$

由介值定理可知，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$，得证。

【注】如何证明 $\xi \in (a,b)$？

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 ${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$

证明 令 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$，在 $[a,b]$ 上用拉格朗日中值定理 $\Rightarrow F(b)-F(a)=F^{\prime }(\xi )(b-a)$，即

$${\int }_a^{b}f(x)dx-0=f(\xi )(b-a),\xi \in (a,b)$$

得证。