第 3 讲 向量组

一、向量及向量组的线性相关性

1. 向量的概念和运算

n 维向量 n 个数构成的一个有序数组 $[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$ 称为一个 n 维向量，记成 $\alpha =[a_1,a_2,\cdots ,a_n]$，并称 $\alpha$ 为 n 维行向量，${\alpha }^T=[a_1,a_2,\cdots ,a_n{]}^T$ 称为 n 维列向量，其中 $a_i$ 称为 向量 $\alpha$（或 ${\alpha }^T$）的第 i 个分量。

相等 若 $\alpha =[a_1,a_2,\cdots ,a_n],\beta =[b_1,b_2,\cdots ,b_n]$ 都是 n 维向量，则当且仅当 $a_i=b_i(i=1,2,\cdots ,n)$，$\alpha =\beta$。

加法 $\alpha +\beta =[a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots ,a_n+b_n]$（$\alpha ,\beta$ 同上）

数乘 $k\alpha =[k{a}_1,k{a}_2,\cdots ,k{a}_n]$（$\alpha$ 同上）

2. 向量组的线性表出与线性相关的概念

线性组合 设有 m 个 n 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 及 m 个数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，则向量

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$

称为向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合。

线性表出 若向量 $\beta$ 表示成向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 的线性组合，即存在 m 个数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得

$$\beta =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m$$

则称向量 $\beta$ 能被向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性表出。

线性相关 对 m 个 n 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，若存在一组不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$$

则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关。

含有零向量或有成比例的向量的向量组必线性相关。

线性无关 若不存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_m$，使得 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$ 成立，就称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，亦即只有当 $k_1=k_2=\cdots =k_m=0$ 时，才有 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_m{\alpha }_m=0$ 成立，则称向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关。

单个非零向量，两个不成比例的向量均线性无关。

向量组或线性相关或线性无关，二者必居其一且仅居其一。

3. 判别线性相关性的七大定理

定理 1 向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n(n\ge 2)$ 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余的 n-1 个向量线性表出。

【注】先证必要性。设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n(n\ge 2)$ 线性相关，则存在 n 个不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$，使得

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=0$$

不妨设 $k_1\ne 0$，于是向量的线性运算规则得

$${\alpha }_1=-\frac{k_2}{k_1}{\alpha }_2-\frac{k_3}{k_1}{\alpha }_3-\cdots -\frac{k_n}{k_1}{\alpha }_n$$

再证充分性。不妨设 ${\alpha }_1$，可用 ${\alpha }_2,{\alpha }_3,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示，即

$${\alpha }_1=l_2{\alpha }_2+l_3{\alpha }_3+\cdots +l_n{\alpha }_n$$

于是有

$$1{\alpha }_1-l_2{\alpha }_2-l_3{\alpha }_3-\cdots -l_n{\alpha }_n=0$$

显然，$1,-l_2,l{-}_3,\cdots ,-l_n$ 不全为零，故向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关。

其逆否命题：向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n(n\ge 2)$ 线性无关的充要条件是 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 中任一向量都不能由其余的 n-1 个向量线性表出。

定理 2 若向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，而 $\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示，且表示法唯一。

【注】证明 因为 $\beta ,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关，所以存在不全为零的数 $k,k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 使得

$$k\beta +k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_n{\alpha }_n=0$$

其中 $k\ne 0$（如果 k=0，则由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，得 $k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 必须全为零，这与 $k,k_1,k_2,\cdots ,k_n$ 不全为零矛盾），于是 $\beta$ 可由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示为

$$\beta =-\frac{k_1}{k}{\alpha }_1-\frac{k_2}{k}{\alpha }_2-\cdots -\frac{k_n}{k}{\alpha }_n$$

再证表示法唯一，设有两种表示法

$$\begin{array}{rl}\beta & =l_1{\alpha }_1+l_2{\alpha }_2+\cdots +l_n{\alpha }_n\\ & =h_1{\alpha }_1+h_2{\alpha }_2+\cdots +h_n{\alpha }_n\end{array}$$

于是

$$(l_1-h_1){\alpha }_1+(l_2-h_2){\alpha }_2+\cdots +(l_n-h_n){\alpha }_n=0$$

由于 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，所以必有

$$l_i-h_i=0,\mathrm{即}{l}_i=h_i,i=1,2,\cdots ,n$$

故 $\beta$ 由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表示的表示法唯一。

定理 3 如果向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表示，且 $t>s$，则 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 线性相关（以少表多，多的相关）。

【注】t=3，s=2 来证明，便于读者理解

证明 设 $\{\begin{array}{l}{\beta }_1=k_{11}{\alpha }_1+k_{21}{\alpha }_2,\\ {\beta }_2=k_{12}{\alpha }_1+k_{22}{\alpha }_2,\\ {\beta }_3=k_{13}{\alpha }_1+k_{23}{\alpha }_2,\end{array}$，欲证 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性相关，只需证存在不全为零的数 $l_1,l_2,l_3$ 使得

$$l_1{\beta }_1+l_2{\beta }_2+l_3{\beta }_3=0$$

即

$$l_1(k_{11}{\alpha }_1+k_{21}{\alpha }_2)+l_2(k_{12}{\alpha }_1+k_{22}{\alpha }_2)+l_3(k_{13}{\alpha }_1+k_{23}{\alpha }_2)=0$$

整理得

$$\begin{array}{}\text{(*)}& (k_{11}{l}_1+k_{12}{l}_2+k_{13}{l}_3){\alpha }_1+(k_{21}{l}_1+k_{22}{l}_2+k_{23}{l}_3){\alpha }_2=0\end{array}$$

当 $\{\begin{array}{l}{k}_{11}{l}_1+k_{12}{l}_2+k_{13}{l}_3=0\\ k_{21}{l}_1+k_{22}{l}_2+k_{23}{l}_3=0\end{array}$ 时，显然 (*) 式成立，而这个方程组是 3 个未知数 $l_1,l_2,l_3$，2 个方程的情形，未知数个数大于方程个数，必有非零解 $l_1,l_2,l_3$，故 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性相关。

其等价命题：如果向量组 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表示，且 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 线性无关，则 $t\le s$。

定理 4 设 m 个 n 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$，其中

$$\begin{gathered} {\alpha }_1=[a_{11},a_{21},\cdots ,a_{n1}{]}^T, \\ {\alpha }_2=[a_{12},a_{22},\cdots ,a_{n2}{]}^T, \\ \cdots \cdots \\ {\alpha }_m=[a_{1m},a_{2m},\cdots ,a_{nm}{]}^T, \end{gathered}$$

则向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组

$$\begin{array}{}\text{(*)}& Ax=0\end{array}$$

有非零解，其中

$$A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12},\cdots ,& a_{1m}\\ a_{21}& a_{22},\cdots ,& a_{2m}\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2},\cdots ,& a_{mn}\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_m\end{array}\right]$$

【注】证明 设

$$\begin{array}{}\text{(**)}& x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_m{\alpha }_m=0\end{array}$$

即

$$\begin{array}{}\text{(***)}& x_1\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ ⋮\\ a_{n1}\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ ⋮\\ a_{n2}\end{array}\right]+\cdots +x_m\left[\begin{array}{c}{a}_{1m}\\ a_{2m}\\ ⋮\\ a_{nm}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right]\end{array}$$

将(***) 式左端写成矩阵形式，即得线性方程组 (*)。因此，如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关，就必有不全为零的数 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 使 (**) 式成立，即齐次线性方程组 (*) 有非零解；反之，如果线性方程组 (*) 有非零解，也就是有不全为零的数 $x_1,x_2,\cdots ,x_m$ 使 (**) 式成立，则 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关。定理得证。

其等价命题：m 个 n 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 (*) 只有零解。

【注 1】如果 n<m，即方程个数小于未知数个数，线性方程组 (*) 求解时必有自由未知量，即必有非零解。因此，任何 n+1 个 n 维向量都是线性相关的。所以在 n 维空间中，任何一个线性无关的向量组最多只能含 n 个向量。

【注 2】n 个 n 维向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关 $\iff |A|=|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n|=0\iff Ax=0$ 有非零解。反之则有，$\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{无}\mathrm{关}\iff |A|\ne 0\iff Ax=0\mathrm{仅}\mathrm{有}\mathrm{零}\mathrm{解}$。

定理 5 仿定理 4 的研究方法，便有

向量 $\beta$ 可由向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性表出

$\iff$ 非齐次线性方程组 $[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_s\end{array}\right]={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_s{x}_s=\beta$ 有解

$\iff r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s])=r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta ])$

反之则有，不能线性表出 $[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_s\end{array}\right]={\alpha }_1{x}_1+{\alpha }_2{x}_2+\cdots +{\alpha }_s{x}_s=\beta$ 无解，$\iff r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s])\ne r([{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s,\beta ])$

定理 6 如果向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。

证明 不妨设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_j(j<m)$ 线性相关，于是有不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots ,k_j$，使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_j{\alpha }_j=0$$

从而有不全为零的数 $k_1,k_2,k_j,0,\cdots ,0$，使

$$k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+\cdots +k_j{\alpha }_j+0{\alpha }_{j+1}+\cdots +0{\alpha }_m=0$$

故 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 也线性相关。

其逆否命题：如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，则其任一部分向量组也线性无关。

总之，向量组部分线性相关，则整体也线性相关；整体线性无关，则任一部分都线性无关。

定理 7 如果一组 n 为向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 线性无关，那么把这些向量各任意添加 m 个分量所得到的新向量（n+m 维）组 ${\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },\cdots ,{\alpha }_m^{\ast }$ 也是线性无关的；如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关，那么它们各去掉相同的若干分量所得到的新向量组也是线性相关的。

【注】事实上，对于 $A[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m],B=[{\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },\cdots ,{\alpha }_m^{\ast }]$，

其中 ${\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },\cdots ,{\alpha }_m^{\ast }$ 是分别在 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 后面任加 m 个分量。如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性无关，即齐次线性方程组 $Ax=0$ 只有零解，则 $Bx=0$ 显然也只有零解（即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 也线性无关）；反之，如果 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 线性相关，即 $Bx=0$ 有非零解，则 $Ax=0$ 也有非零解（即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ 也线性相关）。

二、极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩

1. 极大线性无关组

在向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，若存在部分组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_s}$ 满足：

① ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_s}$ 线性无关；

② 向量组中任一向量 ${\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,s)$ 均可由 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_s}$ 线性表出

则称向量组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_s}$ 是原向量组的极大线性无关组。

向量组的极大线性无关组一般不唯一，只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组，一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身。

2. 等价向量组

设两个向量组：(I) ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，(II)${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$，若 (I) 中每个 ${\alpha }_i(i=1,2,\cdots ,s)$ 均可由 (II) 线性表出，则称向量组 (I) 可由向量组 (II) 线性表出；若向量组 (I),(II) 可以相互线性表出，则称向量组 (I) 与向量组 (II) 是等价向量组，记作 $(I)\cong (II)$。

等价向量组满足：

① $(I)\cong (I)$（反身性）

② 若 $(I)\cong (II)$，则 $(II)\cong (I)$（对称性）

③ 若 $(I)\cong (II),(II)\cong (III)$，则 $(I)\cong (III)$（传递性）

向量组和它的极大线性无关组是等价向量组

3. 向量组的秩

向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 的极大线性无关组 ${\alpha }_{i_1},{\alpha }_{i_2},\cdots ,{\alpha }_{i_s}$ 中所含向量的个数 r 称为向量组的秩，记作 $rank({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)=r$ 或 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)=r$。

等价向量组等秩，反之未必成立。

4. 有关向量组的秩的重要定理和公式

（1）三秩相等

r(A) （矩阵的值）= A 的行秩（A 的行向量组的秩）= A 的列秩（A 的列向量组的秩）

（2）若 $A\stackrel{\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}}{\to }B$，则

① A 的行向量组和 B 的行向量组是等价向量组

② A 和 B 的任何相应的部分列向量组具有相同的线性相关性

（3）设向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 及 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$，若 ${\beta }_i(i=1,2,\cdots ,t)$ 均可由 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t$ 线性表出，则 $r({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_t)\le r({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s)$

等价矩阵和等价向量组

（1）向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念。矩阵等价要同型，当然行数、列数都要相等；向量组等价要同维，但向量个数可以不等。

（2）A，B 同型时，$A\cong B\iff r(A)=r(B)\iff PAQ=B$（P，Q 是可逆矩阵）

（3）${\alpha }_i,{\beta }_j(i=1,2,\cdots ,s;j=1,2,\cdots ,t)$ 同维，则