第一章 函数、极限与连续

第一节 函数及函数的初等特性

一、基本概念

1.（一维空间）领域与去心邻域

设 $a$ 为一个实数，$\delta >0$，称集合 $\{x||x-a|<\delta \}$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U(a,\delta )$。

称集合 $\{x|0<|x-a|<\delta \}$ 为点 $a$ 的 $\delta$ 去心邻域，记为 $\mathring{U}(a,\delta )$。

2.函数

设 $x$，$y$ 为两个变量，数集 $D$ 为变量 $x$ 的取值范围，若对任意的 $x\in D$，按照某种对应关系总有唯一确定的值 $y$ 与之对应，则称 $y$ 为 $x$ 的函数，记为 $y=f(x)$。

其中 $x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量或函数，数集 $D$ 称为函数的定义域，数集 $R=\{y|y=f(x),x\in D\}$ 称为函数的值域。

常见的几个特殊的函数：

（1）符号函数.

称 $y=\text{sgn}x=\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 0,& x=0\\ 1,& x>0\end{array}$ 为符号函数，显然 $|x|=x\text{sgn}x$。

（2）狄利克雷函数

称 $D(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\in \mathbf{Q}\\ 0,& x\in \mathbf{R}\mathrm{\setminus }\mathbf{Q}\end{array}$ 为狄利克雷函数，其中 $Q$ 表示有理数集，$R$ 表示实数集。

（3）取整函数

称 $y=[x]$ 为取整函数，$[x]$ 等于不超过 $x$ 的最大整数。

取整函数常见的性质：

① $[x]\le x$

② $[x+k]=[x]+k(k\in Z)$，其中 $Z$ 表示整数

③ $varphi(x)=x-[x]$ 是周期为 1 的函数

3.反函数

设函数 $y=f(x)(x\in D)$，其值域为 $R=\{y|y=f(x),x\in D\}$，若对任意的 $y\in R$，按照关系 $y=f(x)$，有唯一确定的值 $x\in D$ 与之对应，则 $x$ 也是 $y$ 的函数，记为 $x=f^{-1}(y)$，称函数 $x=f^{-1}(y)$ 为函数 $y=f(x)$ 的反函数。

划重点

严格单调的函数一定有反函数

4.复合函数

设函数 $y=f(u)(u\in D_1)$，函数 $u=\phi (x)(x\in D_2)$，令 $R=\{u|u=\phi (x),x\in D_1\}$ 且 $R\subset D_2$，称函数 $y=f[\phi (x)](x\in D_1)$ 为函数 $y=f(u)$ 与函数 $u=\phi (x)$ 的复合函数。

5.基本初等函数

以下五种函数称为基本初等函数：

（1）幂函数——称 $y=x^a(a\mathrm{为}\mathrm{实}\mathrm{数})$ 为幂函数

（2）指数函数——称 $y=a^x(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$ 为指数函数

（3）对数函数——称 $y={\log }_{a}x(a>0\mathrm{且}a\ne 1)$ 为对数函数，其中当 $a=10$ 时，称 $y={\log }_{10}x=\lg x$ 为常用对数；当 $a=e$ 时，称 $y={\log }_{e}x=\ln x$ 为自然对数

（4）三角函数——$\sin x$，$\cos x$，$\tan x$，$\cot x$，$\sec x$，$\csc x$ 为六种三角函数，其中 $\sec x=\frac{1}{\cos x}$，$\csc x=\frac{1}{\sin x}$

（5）反三角函数：

① 反正弦函数 $y=\arcsin x(-1\le x\le 1)$，值域为 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

② 反余弦函数 $y=\arccos x(-1\le x\le 1)$，值域为 $[0,\pi ]$

③ 反正切函数 $y=\arctan x(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$，值域为 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

④ 反余切函数 $y=\text{arccot}x(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })$，值域为 $(0,\pi )$

6.初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的一个函数表达式称为初等函数。

二、函数的初等性质

1.有界性

设函数 $y=f(x)(x\in D)$，若存在常数 $M>0$，对任意的 $x\in D$，有 $|f(x)|\le M$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有界；

若存在常数 $M_1$，对任意的 $x\in D$，有 $|f(x)|\ge M_1$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有下界；

若存在常数 $M_2$，对任意的 $x\in D$，有 $|f(x)|\le M_2$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有上界；

函数 $y=f(x)$ 在 D 上有界的充分必要条件是函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上既有上界又有下界。

若对任意大的常数 $M>0$，存在 $c\in D$，使得 $|f(c)|>M$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上无界。

2.奇偶性

设函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有定义，且定义域 $D$ 关于原点对称，若对任意的 $x\in D$，有 $f(-x)=f(x)$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上为偶函数；

若对任意的 $x\in D$，有 $f(-x)=-f(x)$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上为奇函数。

划重点

（1）偶函数图像关于 $y$ 轴对称，奇函数图像关于原点对称；

（2）若 $f(x)$ 在原点有定义且为奇函数，则 $f(0)=0$；

（3）奇函数与偶函数之积为奇函数，奇函数与奇函数之积为偶函数；

设函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有定义，且 $D$ 关于原点对称，证明：函数 $f(x)$ 可表示为一个奇函数与一个偶函数之和。

证明

令 $g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$，$h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$，显然，

$$f(x)=g(x)+h(x)$$

因为 $g(-x)=g(x)$，$h(-x)=-h(x)$，所以 $g(x)$ 为偶函数，$h(x)$ 为奇函数。结论得证。

3.单调性

设函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上有定义，若对任意的 $x_1,x_2\in D\mathrm{且}{x}_1<x_2$，有 $f(x_1)<f(x_2)$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上单调增加；

若对任意的 $x_1,x_2\in D\mathrm{且}{x}_1<x_2$，有 $f(x_1)>f(x_2)$，则称函数 $y=f(x)$ 在 $D$ 上单调减少。

4.周期性

设函数 $f(x)$ 在 $D$ 上有定义，若存在常数 $T>0$，对任意的 $x\in D$，有 $x\pm T\in D$，且 $f(x+T)=f(x)$，则称函数 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 为 $f(x)$ 的一个周期，使得 $f(x+T)=f(x)$ 恒成立的最小的正数称为函数 $f(x)$ 的最小正周期。

第二节 极限与连续

一、基本极限

（一）数列极限

（$\xi -N$）设 $a_n$ 为一个数列，若对任意的 $\xi >0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有

$$|a_n-A|<\xi$$

则称常数 $A$ 为数列 $a_n$ 的极限，记为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，或 $a_n\to A(n\to \mathrm{\infty })$

证明：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}$

证明

$|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}|=|\frac{1}{2(2n+1)}|$，对任意的 $\xi >0$，$\frac{1}{2(2n+1)}<\xi \iff n>\frac{1}{2}(\frac{1}{2\xi }-1)$，取 $N=max[\frac{1}{2}(\frac{1}{2\xi }-1)],1$，则对任意的 $\xi >0$，当 $n>N$ 时，有

$$|\frac{n}{2n+1}-\frac{1}{2}|<\xi$$

由极限的定义得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}$

证明：若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|A|$，反之不对。

证明

对任意的 $\xi >0$，因为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，所以存在 $N>0$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\xi$,

因为 $||a_n|-|A||\le |a_n-A|$，所以当 $n>N$ 时，有 $||a_n|-|A||<\xi$，

由极限的定义得 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|A|$

设 $a_n=(-1{)}^n\frac{n}{n+1}$，显然 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+1}=1$，但 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 不存在。

（二）函数极限

1.自变量趋于有限值时函数的极限（$\xi -\delta$）

设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的去心邻域内有定义，若对任意的 $\xi >0$，总存在 $\delta >0$，使得当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-A|<\xi$$

成立，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to a$ 时以常数 $A$ 为极限，记为 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，或 $f(x)\to A(x\to a)$

划重点

（1）$x\to a$ 表示 $x\ne a$ 且 $x\to a^{-}$ 及 $x\to a^{+}$。

（2）$\underset{x\to a}{lim}f(x)$ 与 $f(a)$ 是否存在即取指多少无关。

如：$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$，显然 $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{lim}(x+1)=2$，但 $f(1)$ 不存在；

又如：$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x^3-1},& x\ne 1\\ 1,& x=1\end{array}$，显然 $\underset{x\to 1}{lim}f(x)=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-3x+2}{x^3-1}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{x-2}{x^2+x+1}=-\frac{1}{3}\ne f(1)=1$

（3）若对任意的 $\xi >0$，总存在 $\delta >0$，当 $x\in (a-\delta ,a)$ 时，有

$$|f(x)-A|<\xi$$

成立，则称常数 $A$ 为函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的左极限，记为 $\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=A$ 或 $f(a-0)=A$；

若对任意的 $\xi >0$，总存在 $\delta >0$，当 $x\in (a,a+\delta )$ 时，有

$$|f(x)-B|<\xi$$

成立，则称常数 $B$ 为函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的右极限，记为 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=B$ 或 $f(a+0)=B$

注意：$\underset{a\to a}{lim}f(x)$ 存在的充分必要条件是 $f(a-0)$，$f(a+0)$ 都存在且相等。

如下情形一般需要研究左右极限：

情形 1 分段函数在分界点处的极限往往需要研究左右极限。

情形 2 $f(x)$ 在表达式中含 $\arctan \frac{1}{x-a}$，研究 $\underset{x\to a}{lim}f(x)$ 需要讨论左右极限。

情形 3 $f(x)$ 的表达式中含 $a^{\frac{\phi (x)}{x-b}}$ 或 $a^{\frac{\phi (x)}{b-x}}$，研究 $\underset{x\to b}{lim}f(x)$ 需要讨论左右极限。

2.自变量趋于无穷大时函数的极限（$\xi -X$）

（1）若对任意的 $\xi$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，有唯一确定的值

$$|f(x)-A|<\xi$$

成立，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时以 $A$ 为极限，记为 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to +\mathrm{\infty })$;

（2）若对任意的 $\xi >0$，存在 $X>0$，当 $x<-X$ 时，有唯一确定的值

$$|f(x)-A|<\xi$$

成立，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to -\mathrm{\infty }$ 时以 $A$ 为极限，记为 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to -\mathrm{\infty })$;

（3）若对任意的 $\xi >0$，存在 $X>0$，当 $|x|>X$ 时，有

$$|f(x)-A|<\xi$$

成立，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时以 $A$ 为极限，记为 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A$ 或 $f(x)\to A(x\to \mathrm{\infty })$。

二、极限的基本性质

定理 1（唯一性）无论是数列极限还是函数关于自变量各种趋向，若极限存在必唯一。

证明 不妨证明函数在自变量趋于某个点时极限的唯一性，用反证法。

设 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}f(x)=B$，不妨设 $A>B$

取 $\xi =\frac{A-B}{2}>0$，因为 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，所以存在 ${\delta }_1>0$，当 $0<|x-a|<{\delta }_1$ 时，有 $|f(x)-A|<\frac{A-B}{2}$，即

$$\frac{A+B}{2}<f(x)<\frac{3A-B}{2}(1)$$

因为 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=B$，所以存在 ${\delta }_2>0$，当 $0<|x-a|<{\delta }_2$ 时，有 $|f(x)-B|<\frac{A-B}{2}$，即

$$\frac{3B-A}{2}<f(x)<\frac{A+B}{2}(2)$$

取 $\delta =min{\delta }_1,{\delta }_2$，当 $0<|x-a|<\delta$ 时，(1)，(2) 都成立，但是 (1)，(2) 矛盾，即 $A>B$ 不对，同理 $A<B$ 也不对，故 $A=B$，即极限若存在必唯一。

定理 2（有界性）若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在，则数列 $a_n$ 一定有界，反之不对。

证明 令 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|A|$, 取 $\xi =1$，则存在 $N>0$，当 $n>N$ 时，有

$$||a_n|-|A||<1$$

从而有 $|a_n|<|A|+1$

取 $M=max|a_1|,|a_2|,\cdots ,|a_N|,|A|+1$，对一切的 $n$ 有唯一确定的值

$$|a_n|\le M$$

即数列 $a_n$ 有界。

反之，取 $a_n=1+(-1{)}^n$，因为 $|a_n|\le 2$，所以数列 $a_n$ 有界，但 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 不存在。

定理 3（保号性）设 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$。

（1）若 $A>0$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$；

（2）若 $A<0$，则存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)<0$；

证明 （1）设 $A>0$，取 $\xi =\frac{A}{2}>0$，因为 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，所以存在 $\delta >0$，当 $<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-A|<\frac{A}{2}$$

从而有 $f(x)>\frac{A}{2}>0$；

（2）设 $A<0$，取 $\xi =-\frac{A}{2}>0$，因为 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，所以存在 $\delta >0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有

$$|f(x)-A|<-\frac{A}{2}$$

从而有 $f(x)<\frac{A}{2}<0$。

推论 1 若 $f(x)\ge 0$（或 $f(x)\le 0$）且 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，则 $A\ge 0$（或 $A\le 0$）。

推论 2 若 $f(x)\ge g(x)$ 且 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，则 $A\ge B$。

三、极限的运算性质

1.四则运算性质

（1）设 $limf(x)$，$limg(x)$ 都存在，则有

$$lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)$$

（2）设 $limf(x)$，$limg(x)$ 都存在，则有

$$lim[f(x)\cdot g(x)]=limf(x)\cdot limg(x)$$

（3）设 $limf(x)$，$limg(x)$ 都存在，且 $limg(x)\ne 0$，则

$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}$$

2.复合运算性质

（1）设 $\underset{u\to a}{lim}f(u)=A$，$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=a$ 且 $g(x)\ne a$，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=A$$

（2）设函数 $f(u)$ 在 $u=a$ 处连续，且 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=a$，则

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[g(x)]=f[\underset{x\to x_0}{lim}g(x)]=f(a)$$

第三节 无穷小与无穷大

一、基本概念

1.无穷小

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内有定义，若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$，则称函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时为无穷小。

划重点

（1）0 是无穷小，但无穷小不一定是 0，0 是与自变量趋向无关的无穷小；

（2）一个非零的函数是否是无穷小与自变量的趋向有关，如：$f(x)=2(x-1{)}^3$ 只有当 $x\to 1$ 时才是无穷小。

2.无穷小的比较

设 $\alpha (x)\to 0$，$\beta (x)\to 0$($x\to x_0$)

（1）若 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=0$，则称 $\beta (x)$ 为 $\alpha (x)$ 的高阶无穷小，记为 $\beta (x)=o(\alpha (x))$；

（2）若 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=k\ne 0$，则称 $\beta (x)$ 为 $\alpha (x)$ 的同阶无穷小，记为 $\beta (x)=O(\alpha (x))$；

特别地，若 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}=1$，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 为等价无穷小（一种特殊的同阶无穷小）。

3.无穷大

函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内有定义，若 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{1}{f(x)}=0$，则称函数当 $x\to x_0$ 时为无穷大。

划重点

（1）两个无穷大量之积仍为无穷大；

（2）两个无界量之积不一定是无界量。

二、无穷小的基本性质

1. 有限个无穷小之和或差仍为无穷小。
2. 有界函数与无穷小之积仍为无穷小，如：$\underset{x\to 0}{lim}x\sin \frac{1}{x}=0$。
3. 常数与无穷小之积仍为无穷小。
4. （极限与无穷小的关系）$limf(x)=A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $lim\alpha (x)=0$。

设 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，证明：$\underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$。

证明

由 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$ 得 $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)\to 0(x\to a)$。

由 $\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$ 得 $g(x)=B+\beta (x)$，其中 $\beta (x)\to 0(x\to a)$。

$$f(x)\pm g(x)=A\pm B+[\alpha (x)\pm \beta (x)]$$

因为 $\alpha (x)\pm \beta (x)\to 0(x\to a)$，所以 $\underset{x\to a}{lim}[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$。

设 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$，$\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$，证明：$\underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=AB$。

证明

由 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=A$ 得 $f(x)=A+\alpha (x)$，其中 $\alpha (x)\to 0(x\to a)$。

由 $\underset{x\to a}{lim}g(x)=B$ 得 $g(x)=B+\beta (x)$，其中 $\beta (x)\to 0(x\to a)$。

$$f(x)g(x)=AB+[A\beta (x)+B\alpha (x)+\alpha (x)\beta (x)]$$

因为 $A\beta (x)+B\alpha (x)+\alpha (x)\beta (x)\to 0(x\to a)$，所以 $\underset{x\to a}{lim}f(x)g(x)=AB$。

三、无穷小的等价性质

1. 设 $\alpha \to 0$，$\beta \to 0$，$\gamma \to 0$，则

   （1）$\alpha \sim \alpha$；

   （2）若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$；

   （3）若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$。

2. 若 $\alpha \sim {\alpha }_1$，$\beta \sim {\beta }_1$，且 $lim\frac{\beta }{\alpha }=A$，则 $lim\frac{{\beta }_1}{{\alpha }_1}=A$

第四节 极限存在准则与重要极限

一、极限存在定理

1.迫敛定理（夹逼定理）

定理 1（数列型） 设数列 $a_n$，$b_n$，$c_n$ 满足：

（1）$a_n\le b_n\le c_n$；（2）$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A$

那么数列 $b_n$ 的极限存在，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$。

证明 对任意的 $\xi >0$，因为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$，所以存在 $N_1>0$ 使得 $n>N_1$ 时，有

$$|a_n-A|<\xi ,\mathrm{或}A-\xi <a_n<A+\xi (1)$$

因为 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{c}_n=A$，所以存在 $N_2>0$，当 $n>N_2$ 时，有

$$|c_n-A|<\xi ,\mathrm{或}A-\xi <c_n<A+\xi (2)$$

取 $N=max{N}_1,N_2$，当 $n>N$ 时，(1)，(2) 成立，而 $a_n\le b_n\le c_n$，则当 $n>N$ 时，有

$$A-\xi <a_n\le b_n\le c_n<A+\xi$$

故 $A-\xi <b_n<A+\xi$，或 $|b_n=A|<\xi$，即 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{b}_n=A$。

定理 2（函数型）设函数 $f(x)$，$g(x)$，$h(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内满足：

（1）$f(x)\le g(x)\le h(x)$；

（2）$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A$

那么函数 $g(x)$ 的极限存在，且 $\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=A$。

2.单调有界定理

定理 3 设 $a_n$ 为数列，若数列 $a_n$ 单调且有界，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 一定存在。

划重点

（1）若数列 $a_n$ 单调递增，如果数列 $a_n$ 无上界，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=+\mathrm{\infty }$；若数列 $a_n$ 有上界，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在；

（2）若数列 $a_n$ 单调递减，如果数列 $a_n$ 无下界，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=-\mathrm{\infty }$；若数列 $a_n$ 有下界，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n$ 存在。

二、两个重要极限

1.重要极限

（1）第一个重要极限：$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$。

（2）第二个重要极限：$\underset{x\to 0}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$。

更一般地，有 $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}(1+\mathrm{\Delta }{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }}}=e$，$\underset{\phi (x)\to 0}{lim}[1+\phi (x){]}^{\frac{1}{\phi (x)}}=e$。

划重点

（1）当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，有 $0<\sin x<x<\tan x$。

（2）记住如下常见的不等式：

① 当 $x>-1$ 时，有 $\ln (1+x)\le x$，其中当且仅当 $x=0$ 时等号成立；

② $e^x\ge 1+x$，其中当且仅当 $x=0$ 时等式成立。

2.当 $x\to 0$ 时，常见的等价无穷小：

（1）$x\sim \sin x\sim \tan x\sim \arcsin x\sim \arctan x\sim \ln (1+x)\sim e^x-1$。

（2）$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$。

（3）$(1+x{)}^a-1\sim ax(a\ne 0)$

第五节 连续与间断

一、基本概念

（一）连续

1.函数在一点连续——设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的邻域内有定义，若 $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$（或者 $f(a-0)=f(a+0)=f(a)$），则称函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续；

若 $f(a-0)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处左连续；若 $f(a+0)=f(a)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处右连续。

2.函数在闭区间上连续——设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 内有定义，满足

（1）函数 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的每一点处都连续；

（2）$f(a)=f(a+0)$，$f(b)=f(b-0)$，

则称函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 内连续，记为 $f(x)\in C[a,b]$。

（二）间断

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的去心邻域内有定义，若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处间断（不连续），$x=x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点。

设函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处间断，间断点的分类如下：

1.第一类间断点——若 $f(x_0-0)$，$f(x_0+0)$ 都存在，则称点 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点，其中若 $f(x_0-0)=f(x_0+0)$，则称点 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点；

若 $f(x_0-0)\ne f(x_0+0)$，则称点 $x=x_0$ 为 $f(x)$ 的跳跃间断点。

2.第二类间断点——若 $f(x_0-0)$，$f(x_0+0)$ 至少有一个不存在，则称点 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类间断点。

二、闭区间上连续函数的性质

性质 1（最小值与最大值定理） 设 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$。

性质 2（有界定理） 设 $f(x)\in C[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，即存在 $M_0>0$，对一切的 $x\in [a,b]$，有 $|f(x)|\le M_0$。

性质 3（零点定理） 设 $f(x)\in C[a,b]$，且 $f(a)f(b)<0$，则至少存在一点 $c\in (a,b)$，使得 $f(c)=0$。

性质 4（介质定理） 设 $f(x)\in C[a,b]$，$m$ 和 $M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则对任意的 $\eta \in [m,M]$，至少存在一点 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\eta$

本章重要考点及题型

题型一 不定型极限计算

情形 1 $\frac{0}{0}$ 型

对于 $\frac{0}{0}$ 型的极限，常用等价无穷小、洛必达法则、泰勒公式等方法，需要做如下一些说明：

（1）若函数表示式中出现 $u(x{)}^{v(x)}$，一般化为 $e^{v(x)\ln u(x)}$，当 $v(x)\ln u(x)\to 0$ 时，

$$e^{v(x)\ln u(x)}-1\sim v(x)\ln u(x)$$

（2）若函数表达式中出现 $\ln \phi (x)$，一般化为 $\ln [1+(\phi (x)-1)]$，当 $\phi (x)\to 0$ 时，

$$\ln [1+(\phi (x)-1)]\sim \phi (x)-1$$

（3）若函数表达式中出现 $f(x)-1$，一般通过变形后利用 $\phi (x)\to 0$ 时

$$e^{\phi (x)}-1\sim \phi (x),\mathrm{或}[1+\phi (x){]}^a-1\sim a\phi (x)$$

情形 2 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型

计算 $1^{\mathrm{\infty }}$ 型的极限可进行如下步骤：

（1）凑第二个重要极限形式 $(1+\mathrm{\Delta }{)}^{\frac{1}{\mathrm{\Delta }}}$；

（2）保持恒等变形。

情形 3 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型

计算 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型的极限一般有如下思路：

（1）使用洛必达法则。

（2）通过分子、分母同时除以一个项，再使用极限的四则运算法则。

（3）记住如下两个重要结论：

① $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\ln }^{a}x}{x^b}=0(a>0,b<0)$；

② $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^a}{b^x}=0(a>0,b>1)$。

（4）$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{b_n{x}^n+\cdots +b_{1}x+b_0}{a_m{x}^m+\cdots +a_{1}x+a_0}(a_m\ne 0,b_n\ne 0)=\{\begin{array}{ll}0,& n<m\\ \frac{b_n}{a_m},& n=m\\ \mathrm{\infty },& n>m\end{array}$

情形 4 $\mathrm{\infty }\cdot 0$ 型

对于 $\mathrm{\infty }\cdot 0$ 型的不定型极限，通常有如下思路：

（1）化为 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型极限；

（2）利用中值定理。

情形 5 $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 型

$\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ 型极限一般作如下处理：

（1）若有分母一般先通分；

（2）无分母时，一般对分子有理化、提取、分组等。

题型二 利用夹逼定理求极限

题型三 数列极限存在性证明

证明数列极限存在一般转化为证明数列单调有界，具体来说分为：

（1）若数列 $a_n$ 单调递减，只要证明数列 $a_n$ 有上界；

（2）若数列 $a_n$ 单调递增，只要证明数列 $a_n$ 有下界。

题型四 无穷小的比较

题型五 闭区间上连续函数性质问题

题型六 函数的连续性、间断点及分类