预备章 零基础高等数学入门知识

第一节 集合、运算与关系

一、基本概念

1.集合——由具有特定特征的个体构成的集体，称为集合，用 $A,B,\cdots$ 表示，其中任何一个个体称为集合的元素。

2.全集——由所有元素构成的集合称为全集，用 $\mathrm{\Omega }$ 表示。

3.空集——不含任何元素的集合成为空集，用 $\mathrm{\varnothing }$ 表示。

4.子集——对于两个集合 $A$，$B$，如何集合 $A$ 中任意一个元素都是集合 $B$ 中的元素，就称集合 $A$ 为集合 $B$ 的子集。

二、集合的运算

1.集合的交集——设 $A$，$B$ 为两个集合，由既属于 $A$ 又属于 $B$ 的元素构成的集合，称为两个集合的交集，记为 $A\cap B$ 或 $AB$。

2.集合的并集——设 $A$，$B$ 为两个集合，由属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素构成的集合，称为两个集合的并集，记为 $A\cup B$ 或 $A+B$。

3.集合的差——设 $A$，$B$ 为两个集合，由属于 $A$ 且不属于 $B$ 的元素构成的集合，称为 $A$ 与 $B$ 的差集，记为 $A\mathrm{\setminus }B$ 或 $A-B$。

4.集合的补集——设 $A$ 为集合，$\mathrm{\Omega }$ 为全集，由 $\mathrm{\Omega }$ 中不属于 $A$ 的元素构成的集合，称为 $A$ 的补集，记为 $\bar{A}$。

三、集合的关系

1.包含——设 $A$，$B$ 为两个集合，若对任意的 $x\in A$，一定有 $x\in B$，则称 $A$ 包含于 $B$，记为 $A\subset B$。

2.相等——设 $A$，$B$ 为两个集合，若 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称 $A=B$。

3.互斥（不相容）——设 $A$，$B$ 为两个集合，若对一切的 $x\in A$，有 $x\notin B$，且对一切的 $x\in B$，有 $x\notin A$，即集合 $A$，$B$ 没有公共的元素，则称 $A$，$B$ 互斥或不相容。

4.对立设 $A$，$B$ 为两个集合，若对一切的 $x\in A$，有 $x\notin B$，且对一切的 $x\in B$，有 $x\notin A$，且对任意 $x\in \mathrm{\Omega }$，有 $x\in A$ 或 $x\in B$，则称 $A$，$B$ 对立。

划重点

（1）$A$，$B$ 互斥的充要条件是 $AB=\mathrm{\varnothing }$。

（2）$A$，$B$ 对立的充要条件是 $AB=\mathrm{\varnothing }$ 且 $A+B=\mathrm{\Omega }$。

（3）$A$，$B$ 对立的充要条件是 $\bar{A}=B$。

（4）$A=(A-B)+AB$，其中 $A-B$ 与 $AB$ 互斥。

（5）$A+B=(A-B)+AB+(B-A)$，其中 $A-B$，$AB$，$B-A$ 两两互斥。

四、集合运算的性质

1. （1）$A+B=B+A$；

   （2）$(A+B)+C=A+(B+C)$；

   （3）$A(B+C)=AB+AC$。

2. （1）$AB=BA$；

   （2）$(AB)C=A(BC)$；

3. 对偶性质

   （1）$\overline{A+B}=\bar{A}\bar{B}$；

   （2）$\overline{AB}=\bar{A}+\bar{B}$

第二节 三角函数与反三角函数

一、三角函数的公式

1.同角三角函数基本关系式

1. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
2. $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
3. $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
4. ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$
5. ${\csc }^{2}x=1+{\cot }^{2}x$

2.倍角公式

1. $\sin 2x=2\sin x\cos x$
2. $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$
3. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

3.半角公式

1. $\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
2. $\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

4.和差公式

1. $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2. $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
3. $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

• $\sin (x+2\pi )=\sin x$
• $\sin (x+\pi )=-\sin x$

5.和差化积公式

1. $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
2. $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$
3. $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
4. $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

6.积化和差公式

1. $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$
2. $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$
3. $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

二、反三角函数

1. $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1)$
2. $\arctan x+\text{arccot}x=\frac{\pi }{2}(-\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty })$

第三节 常见的不等式及数列

一、常见不等式

1.三角不等式

$$||a|-|b||\le |a-b|\le |a|+|b|$$

2.算术 - 几何平均值不等式

$$a^2+b^2\ge 2ab\$\mathrm{或}\$|ab|\le \frac{a^2+b^2}{2}\$-\$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$$

一般地，设 $a_i\ge 0(i=1,2,\dots n)$，则有

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

3.柯西不等式

设 $a_i,b_i(i=1,2,\dots n)$ 为两组常数，则一次即可完成

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$$

二、常见的数列及公式

等差数列的前 n 项和公式：$S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}d$

等比数列的前 n 项和公式：$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a(1-q^n)}{1-q},& q\ne 1\\ an,& q=1\end{array}$

• $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$
• $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$