第 13 讲 常微分方程

一、微分方程的概念

1. 微分方程

含有未知函数及其导数（或者微分）的方程称为微分方程。一般写成

$$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=f(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n-1)})$$

2. 常微分方程

未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程。如：$y^{‴}-y^{″}+6y=0$，$ydx-(x+\sqrt{x^2+y^2})dy=0$。

3. 微分方程的阶

方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶。如：$y^{‴}-y^{″}+6y=0$ 就是三阶微分方程。

4. 微分方程的解

若将函数代入微分方程，使方程成为恒等式，则该函数称为微分方程的解。设 $y=y(x)$ 在区间 I 上连续且有直到 n 阶的导数，使 $F(x,y(x),y^{\prime }(x),\cdots ,y^{(n)}(x))\equiv 0$，则称 $y=y(x)$ 为该微分方程在区间 I 上的一个解。

5. 微分方程的通解

若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则该解称为微分方程的通解。

也就是说，若 $y=y(x,C_1,C_2,\cdots ,C_n)$ 是 n 阶微分方程 $F(x,y(x),y^{\prime }(x),\cdots ,y^{(n)}(x))\equiv 0$ 在区间 I 上的解，其中 $C_1,C_2,\cdots ,C_n$ 为 n 个独立的常数，则称它为该微分方程的通解。

6. 初始条件与特解

确定通解中常数的条件就是初始条件。如：$y(x_0)=a_0,y^{\prime }(x_0)=a_1,\cdots ,y^{(n-1)}(x_0)=a_{n-1}$，其中 $a_0,a_1,\cdots ,a_{n-1}$ 为 n 个给定的数。确定了通解中的常数后，解就成了特解。

二、一阶微分方程的求解

1. 变量可分离型

能写成 $y^{\prime }=f(x)g(y)$ 形式的方程称为变量可分离型方程。其解法为

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$

例如：$\frac{dy}{dx}=e^{x-y}=e^x\cdot e^{-y}\Rightarrow \int e^{y}dy=\int e^{x}dx=\{\begin{array}{l}{e}^y=e^x+C(\mathrm{隐}\mathrm{式}\mathrm{解})\\ y=ln(e^x+C)(\mathrm{显}\mathrm{示}\mathrm{解})\end{array}$

2. 可化为变量可分离型

（1）形如 $\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$ 的方程，其中常数 a，b 全都不为零。其解法为令 $u=ax+by+c$，则 $\frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}$，代入原方程得 $\frac{du}{dx}=a+bf(u)$。

（2）齐次型微分方程

如，对于微分方程 $(x+y\cos \frac{y}{x})dx-x\cos \frac{y}{x}dy=0$，将其变形为

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y\cos \frac{y}{x}}{x\cos \frac{y}{x}}=\frac{1+\frac{y}{x}\cos \frac{y}{x}}{\cos \frac{y}{x}}=\phi (\frac{y}{x})$$

我们把形如 $\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$ 的方程叫作齐次型微分方程。其解法为令 $u=\frac{y}{x}$，则

$$y=ux\Rightarrow \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$

于是原方程变为 $x\frac{du}{dx}+u=\phi (u)$，即 $\frac{du}{\phi (u)-u}=\frac{dx}{x}$。

3. 一阶线性微分方程

形如 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 的方程，其中 $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数。其通解公式为

$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C]$$

推导计算公式 在方程两边同时乘以 $e^{\int p(x)dx}$，得

$$e^{\int p(x)dx}\cdot y^{\prime }+e^{\int p(x)dx}p(x)\cdot y=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)$$

于是

$$[e^{\int p(x)dx}\cdot y{]}^{\prime }=e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)$$

两边积分，得

$$e^{\int p(x)dx}\cdot y=\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C$$

则

$$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}\cdot q(x)dx+C]$$

4. 伯努利方程

形如 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n(n\ne 0,1)$ 的方程，其中 $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数。其解法具体步骤为

（1）先变形为 $y^{-n}\cdot y^{\prime }+p(x)y^{1-n}=q(x)$；

（2）令 $z=y^{1-n}$，得 $\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$，则 $\frac{1}{1-n}\cdot \frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)$；

（3）解此一阶线性微分方程即可。

三、二阶可降阶微分方程的求解

1. $y^{″}=f(x,y^{\prime })$ 型（方程中不显含未知函数 y）

（1）令 $y^{\prime }=p(x),y^{″}=p^{\prime }$，则原方程变为一阶方程 $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$；

（2）若求得其解为 $p=\phi (x,C_1)$，即 $y^{\prime }=\phi (x,C_1)$，则原方程的通解为 $y=\int \phi (x,C_1)dx+C_2$

2. $y^{″}=f(y,y^{\prime })$ 型（方程中不显含自变量 x）

（1）令 $y^{\prime }=p,y^{″}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p$，则原方程变为一阶方程 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$；

（2）若解得其解 $p=\phi (y,C_1)$，则由 $p=\frac{dy}{dx}$ 可得 $\frac{dy}{dx}=\phi (y,C_1)$，分离变量得 $\frac{dy}{\phi (y,C_1)=dx}$；

（3）两边积分得 $\int \frac{dy}{\phi (x,C_1)}=x+C_2$，即可求得原方程的通解。

四、高阶线性微分方程的求解

1. 概念

（1）方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$ 称为二阶变系数线性微分方程，其中 $p(x),q(x)$ 叫系数函数，$f(x)$ 叫自由项，均为已知的连续函数。

当 $f(x)\equiv 0$ 时，$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 为齐次方程；

当 $f(x)$ 不恒等于 0 时，$y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$ 为非齐次方程。

（2）方程 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 称为二阶常系数线性微分方程，其中 $p,q$ 为常数，$f(x)$ 叫自由项。

当 $f(x)\equiv 0$ 时，$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$ 为齐次方程；

当 $f(x)$ 不恒等于 0 时，$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$ 为非齐次方程。

2. 解的结构（以二阶为例）

（1）若 $y_1(x),y_2(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 的两个解，且 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}\ne C(\mathrm{常}\mathrm{数})$，则称 $y_1(x),y_2(x)$ 是该方程的两个线性无关的解，且 $y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 的通解。

（2）若 $y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$ 是方程 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$ 的通解，$y^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$ 的一个特解，则 $y(x)+y^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$ 的通解。

（3）若 $y_1^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)$ 的解，$y_2^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_2(x)$ 的解，则 $y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$ 是 $y^{″}+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ 的解。

3. 二阶常系数齐次线性微分方程的通解

对于 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$，其对应的特征方程为 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$，求其特征根，有以下三种情况请大家牢记（其中 $C_1,C_2$ 为任意常数）。

（1）若 $p^2-4q>0$，设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是特征方程的两个不等实根，即 ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$，可得其通解为

$$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$$

（2）若 $p^2-4q=0$，设 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 是特征方程的两个相等的实根，即二重根，令 ${\lambda }_1={\lambda }_2=\lambda$，可得其通解为

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{\lambda x}$$

（3）若 $p^2-4q<0$，设 $\alpha \pm \beta i$ 是特征方程的一对共轭复根，可得其通解为

$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

4. 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解

对于 $y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$，《考试大纲》规定我们需要会解以下两种情况

设 $P_n(x),P_m(x)$ 分别为 x 的 n 次，m 次多项式。

（1）当自由项 $f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$ 时，特解要设为 $y^{\ast }=e^{\alpha x}{Q}_n(x)x^k$

其中，$\{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\mathrm{照}\mathrm{抄},\\ \\ Q_n(x)\mathrm{为}x\mathrm{的}n\mathrm{次}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式}\\ \\ k=\{\begin{array}{l}0,\alpha \mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}\\ 1,\alpha \mathrm{是}\mathrm{单}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}\\ 2,\alpha \mathrm{是}\mathrm{二}\mathrm{重}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}\end{array}\end{array}$

（2）当自由项 $f(x)=e^{\alpha x}[P_m(x)\cos \beta x+P_n(x)\sin \beta x]$ 时，特解要设为

$$y^{\ast }=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_l^{(2)}(x)\sin \beta x]x^k$$

其中，$\{\begin{array}{l}{e}^{\alpha x}\mathrm{照}\mathrm{抄},\\ \\ l=max\{m,n\},Q_l^{(1)}(x),Q_l^{(2)}(x)\mathrm{分}\mathrm{别}\mathrm{为}x\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{的}l\mathrm{次}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式}\\ \\ k=\{\begin{array}{l}0,\alpha \pm \beta i\mathrm{不}\mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}\\ 1,\alpha \pm \beta i\mathrm{是}\mathrm{特}\mathrm{征}\mathrm{根}\end{array}\end{array}$

5. n 阶常系数齐次线性微分方程的解

方程 $y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+\cdots +p_{n-1}{y}^{\prime }+p_{n}y=0$ 称为 n 阶常系数齐次线性微分方程，其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_n$ 为常数，其对应的特征方程为 ${\lambda }^n+p_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +p_{n-1}\lambda +p_n=0$，求出其特征根。有如下情况需要大家牢记（其中大写的英文字母均为任意常数）。

（1）特征根为单实根 $\lambda$ 时，微分方程通解中对应一项 $C{e}^{\lambda x}$；

（2）特征根为 k 重实根 $\lambda$ 时，微分方程通解中对应 k 项 $(C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})e^{\lambda x}$；

（3）特征根为单复根 $\alpha \pm \beta i(\beta >0)$ 时，微分方程通解中对应两项 $e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$；

（4）特征根为 k 重复根 $\alpha \pm \beta i(\beta >0)$ 时，微分方程通解中对应 2k 项

$$e^{\alpha x}((C_1+C_{2}x+\cdots +C_k{x}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+\cdots +D_k{x}^{k-1})\sin \beta x)$$