第 8 讲 一元函数积分学的概念与计算

一、概念

（一）不定积分

1. 原函数与不定积分

设函数 $f(x)$ 定义在某区间 $I$ 上，若存在可导函数 $F(x)$，对于该区间上任意一点都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$ 成立，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，称 $\int f(x)=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的不定积分，其中 C 为任意常数。

【注】谈到函数 $f(x)$ 的原函数与不定积分，必须指明 $f(x)$ 所定义的区间。

2. 原函数（不定积分）存在定理

（1）连续函数 $f(x)$ 必有原函数 $F(x)$。

（2）含有第一类间断点、无穷间断点的函数 $f(x)$ 在包含该间断点的区间内必没有原函数 $F(x)$

（二）定积分

1. 定积分的概念

若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上有界，在 $(a,b)$ 上任取 n-1 个分点 $x_k(k=1,2,3,\cdots ,n-1)$，定义 $x_0=a$ 和 $x_n=b$，且 $a=x_0<x_1<x_2<x_3<\cdots <x_{n-1}<x_n<b$，记 $\mathrm{△}{x}_k=x_k-x_{k-1},k=1,2,3,\cdots ,n$。并任取 ${\xi }_k\in [x_{k-1},x_k]$，记 $\lambda =\underset{1\le k\le n}{max}\{\mathrm{△}{x}_k\}$，当 $\lambda \to 0$ 时，极限 $\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\mathrm{△}{x}_k$ 存在且与分点 $x_k$ 及 ${\xi }_k$ 的取法无关，则称函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 可积，及 ${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)\mathrm{△}{x}_k$

【注】（1）若 $f(x)<0$，曲边梯形就在 x 轴下方，定积分的绝对值仍等于曲边梯形的面积，但定积分的值是负的

（2）当我们说到 “a 到 b 上的定积分” 时，不要总认为 $a<b$，事实上，$a>b$ 的情形是完全可以的，不过注意，$a<b$ 时，$dx>0$；$a>b$ 时，$dx<0$

（3）定积分的定义由德国数学家波恩哈德·黎曼给出，故这种积分又被称为黎曼积分

（4）定积分的精确定义（重点）

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}i)\frac{b-a}{n}$$

2. 定积分存在定理

定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性。这里的 “常义” 是指 “区间有限，函数有界”，也有人称为 ”黎曼“ 可积性，与后面要谈到的 ”区间无穷，函数无界“ 的 ”反常“ 积分有所区别。在本讲中所谈到的可积性都是指常义可积性

（1）定积分存在的充分条件

① 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在

② 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在

③ 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，且只有有限个间断点，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在

（2）定积分存在的必要条件

可积函数必有界，即若定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 存在，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必有界

【注 1】关于定积分存在的必要条件，不妨这样理解：当我们任意分割图形底边为若干小段时，若 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上无界，则至少存在一个小段 $\mathrm{△}x$，在 $\mathrm{△}x$ 上，$f(x)$ 可以任意大，于是一个 “小竖条” 的面积 $f(x)\mathrm{△}x$ 便可以无穷大，这样整个曲边梯形的面积就是无穷大，于是极限就不存在了，所以可积函数必有界。

3. 定积分的性质（以下假设所写积分均存在）

性质 1（求区间长度）    假设 $a<b$，则 ${\int }_a^{b}dx=b-a=L$，其中 $L$ 为区间 $[a,b]$ 的长度

性质 2（积分的线性性质）    设 $k_1,k_2$ 为常数，则 ${\int }_a^b[k_{1}f(x)\pm k_{2}g(x)]dx=k_1{\int }_a^{b}f(x)dx\pm k_2{\int }_a^{b}g(x)dx$

性质 3（积分的可加（拆）性）    无论 $a,b,c$ 的大小如何，总有 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

性质 4（积分的保号性）    若区间 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则有 ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$，特殊地，有 $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

性质 5（估值定理）    设 M，m 分别是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值，$L$ 为区间 $[a,b]$ 的长度，则有

$$mL\le {\int }_a^{b}f(x)dx\le ML$$

性质 6（中值定理）    设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，则在 $[a,b]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得

$${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$$

（三）变限积分

1. 变限积分的概念

当 x 在 $[a,b]$ 上变动时，对应于每一个 x 值，积分 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 就有一个 确定的值，因此 ${\int }_a^{x}f(t)dt$ 是一个变上限的函数，记作 $\mathrm{\Phi }(x)={\int }_a^{x}f(t)dt(a\le x\le b)$，称函数 $\mathrm{\Phi }(x)$ 为变上限的定积分。同理可以定义变下限的定积分和上、下限都变化的定积分，这些都称为变限积分。事实上，变限积分就是定积分的推广。

2. 变限积分的性质

（1）函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则函数 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上连续

（2）函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则函数 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可导

3. 变限积分的求导公式

设 $F(x)={\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt$，其中 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，可导函数 ${\phi }_1(x)$ 和 ${\phi }_2(x)$ 的值域在 $[a,b]$ 上，则在函数 ${\phi }_1(x)$ 和 ${\phi }_2(x)$ 的公共定义域上，有 $F^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(t)dt]=f[{\phi }_2(x)]{\phi }_2^{\prime }(x)-f[{\phi }_1(x)]{\phi }_1^{\prime }(x)$

（四）反常积分

1. 反常积分概念的通俗理解

反常积分的概念很容易从定积分的概念中引出。前面已经指出，定积分存在有两个必要条件：一是积分区间有限，二是被积函数有界。如果破坏了积分区间的有限性，就引出无穷区间上的反常积分；如果破坏了被积函数的有界性，就引出无界函数的反常积分，我们以无穷区间上的反常积分为例，来通俗地解释一下到底什么是反常积分。

定积分的几何背景是一个曲边梯形的面积，现在我们假设曲边梯形的底边长 $l\to +\mathrm{\infty }$，高为 $h=f(x)$，则面积 $S=l\cdot h$。问题是，什么情况下此面积才会存在呢？我们自然想到极限理论中的未定式 “$\mathrm{\infty }\cdot 0$” 型，当 $x\to +\mathrm{\infty }$，也就是底边长 $l\to +\mathrm{\infty }$ 时，只有 $f(x)\to 0$，S 才可能存在，故一般来说，

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx\mathrm{收}\mathrm{敛}\Rightarrow \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$$

反过来说，若 $a>0$，高 $h=\frac{1}{\sqrt{x}}$，当 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}}\to 0$，虽然高 $h\to 0$，但面积 $S={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\to +\mathrm{\infty }$，发散。很好理解，这是因为高 h “无穷小的程度” 小于底边长 l “无穷大的程度”，结果还会发散。

所以，高 $h=f(x)$ 的 “无穷小的程度” 就会成为反常积分敛散性判别中的关键。一般来说，$f(x)$“越小”，则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$“越容易收敛”

这个结论对于理解后面的敛散性判别法有着重要的意义，即便我在下面会给出一个令人遗憾的特例，它也不会影响上述结论的重要地位。

【注】事实上，${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛不一定能推出 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$。比如，设

$$f(x)=\{\begin{array}{l}n,x\in [n,n+\frac{1}{n\cdot 2^n}],n=1,2,\cdots \\ 0,\mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}$$

则 ${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_0^{1}0dx+{\int }_1^{\frac{3}{2}}dx+{\int }_{\frac{3}{2}}^{2}0dx+{\int }_2^{\frac{17}{8}}2dx+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}$ 收敛，但 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)\ne 0$

这是一个 “特例”，为什么会出现这种情形？你看 $f(x)$ 的正值区间是 $[n,n+\frac{1}{n\cdot 2^n}]$，其区间长度为 $\frac{1}{n\cdot 2^n}$，而其 “高” 为 n，故此面积为 $\frac{1}{2^n}$，依然可以收敛是因为正值区间上底边长 “无穷小的程度” 超过了高 “无穷大的程度”。

2. 无穷区间上反常积分的概念与敛散性

（1）${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 的定义为 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx=\underset{b\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx$

若上述极限存在，则称反常积分 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

（2）${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx$ 的定义为 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx=\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\int }_a^{b}f(x)dx$

若上述极限存在，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{b}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

（3）${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 的定义为 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{c}f(x)dx+{\int }_c^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$

若右边两个反常积分都收敛，则称反常积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

【注】在反常积分中，一般把 "$\mathrm{\infty }$" 和使得函数极限为无穷的点（瑕点）统称为奇点

3. 无界函数的反常积分的概念与敛散性

（1）若 b 是 $f(x)$ 唯一瑕点，则无界函数 $f(x)$ 的反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 定义为

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\xi \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^{b-\xi }f(x)dx$$

若上述极限存在，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

（2）若 a 是 $f(x)$ 唯一瑕点，则无界函数 $f(x)$ 的反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 定义为

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\xi \to 0^{+}}{lim}{\int }_{a+\xi }^{b}f(x)dx$$

若上述极限存在，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

（3）若 $c\in (a,b)$ 是 $f(x)$ 唯一瑕点，则无界函数 $f(x)$ 的反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 定义为

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$ 收敛，否则称为发散

两个重要结论

（1）无穷区间的反常积分 ${\int }_x^{+\mathrm{\infty }}\frac{dx}{x^p}$：在 $p>1$ 时收敛，在 $p\le 1$ 时发散。

（2）无界函数的反常积分 ${\int }_0^1\frac{dx}{x^p}(p>0,\mathrm{奇}\mathrm{点}x=0)$：在 $0<p<1$ 时收敛，在 $p\ge 1$ 时发散。

二、计算

（一）不定积分的积分法

1. 基本积分公式

① $\int x^{k}dx=\frac{1}{k+1}{x}^{k+1}+C,k\ne -1;\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C\\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C\end{array}$

② $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

③ $\int e^{x}dx=e^x+C;\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,a>0\mathrm{且}a\ne 1$

④ $\begin{array}{rl}& \int \sin xdx=-\cos x+C;\int \cos xdx=\sin x+C\\ \\ & \int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C;\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C\\ \\ & \int \frac{dx}{\cos x}=\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C\\ \\ & \int \frac{dx}{\sin x}=\int \csc xdx=\ln |\csc x-\cot x|+C\\ \\ & \int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C;\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C\\ \\ & \int \sec x\tan xdx=\sec x+C;\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C\end{array}$

⑤ $\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C\\ \\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C(a>0)\end{array}$

⑥ $\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C\\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin \frac{x}{a}+C(a>0)\end{array}$

⑦ $\{\begin{array}{l}\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+a^2})+C(\mathrm{常}\mathrm{见}a=1)\\ \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln |x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)\end{array}$

⑧ $\int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x-a}{x+a}|+C(\int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln |\frac{x+a}{x-a}|+C)$

⑨ $\int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|\ge 0)$

⑩ $\begin{array}{rl}& \int {\sin }^{2}xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C({\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2})\\ \\ & \int {\cos }^{2}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C({\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2})\\ \\ & \int {\tan }^{2}xdx=\tan x-x+C({\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1)\\ \\ & \int {\cot }^{2}x=-\cot x-x+C({\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1)\end{array}$

2. 凑微分法

（1）基本思想 $\int f[g(x)]g^{\prime }(x)dx=\int f[g(x)]d[g(x)]=\int f(u)du$

（2）熟练掌握基本积分公式及常用的凑微分公式

3. 换元法

（1）基本思想 $\int f(x)dx\stackrel{x=g(u)}{=}\int f[g(u)]d[g(u)]=\int f[g(u)]g^{\prime }(u)du$

当被积函数不容易积分（比如含有根式，含有反三角函数）时，可以通过换元的方法从 d 后面拿出一部分放到前面来，就成为 $\int f[g(u)]g^{\prime }(u)du$ 的形式，若 $f[g(u)]g^{\prime }(u)$ 容易积分，则换元成功

【注】$x=g(u)$ 必须是单调可导函数，且不要忘记计算结束后用反函数 $u=g^{-1}(x)$ 回代

（2）归纳总结换元法的思维结构

① 三角函数代换——当被积函数含有如下根式时，可作三角代换，这里 $a>0$\

$$\{\begin{array}{l}\sqrt{a^2-x^2}\stackrel{\mathrm{令}}{\to }x=a\sin t,|t|<\frac{\pi }{2}\\ \\ \sqrt{a^2+x^2}\stackrel{\mathrm{令}}{\to }x=a\tan t,|t|<\frac{\pi }{2}\\ \\ \sqrt{x^2-a^2}\stackrel{\mathrm{令}}{\to }x=a\sec t,\{\begin{array}{l}\mathrm{若}x>0,\mathrm{则}0<t<\frac{\pi }{2}\\ \\ \mathrm{若}x<0,\mathrm{则}\frac{\pi }{2}<t<\pi \end{array}\end{array}$$

② 恒等变形后作三角函数代换——当被积函数含有根式 $\sqrt{a{x}^2+bx+c}$ 时，可化为以下三种形式 $\sqrt{{\phi }^2(x)+k^2},\sqrt{{\phi }^2(x)-k^2},\sqrt{k^2-{\phi }^2(x)}$，再作三角函数代换

③ 根式代换——当被积函数含有根式 $\sqrt[n]{ax+b},\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}},\sqrt{a{e}^{bx}+c}$ 等时，一般令根式 $\sqrt{\ast }=t$（因为事实上，很难通过根号内换元的办法凑成平方，所以根号无法去掉）。对既含有 $\sqrt[n]{ax+b}$，也含有 $\sqrt[m]{ax+b}$ 的函数，一般取 m，n 的最小公倍数 l，令 $\sqrt[l]{ax+b}=t$

④ 倒代换——当被积函数分母的幂次比分子高两次及两次以上时，作倒代换，令 $x=\frac{1}{t}$

⑤ 复杂函数的直接代换——当被积函数中含有 $a^x,e^x,\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 等时，可考虑直接令复杂函数等于 t，值得指出的是，当 $\ln x,\arcsin x,\arctan x$ 与 $P_n(x)$ 或 $e^{ax}$ 作乘法时（其中 $P_n(x)$ 为 x 的 n 次多项式），优先考虑分部积分法。

4. 分部积分法

（1）基本思想 $\int udv=uv-\int vdu$

什么函数积分后会 “简单” 些？宜取作 v；什么函数微分后会 “简单” 些？宜取作 u。选取的一般原则：设 $P_n(x)$ 为 x 的 n 次多项式，

① 被积函数为 $P_n(x)e^{kx},P_n(x)\sin ax,P_n(x)\cos ax$ 等形式时，一般来说选取 $u=P_n(x)$

② 被积函数为 $e^{ax}\sin bx,e^{ax}\cos bx$ 等形式是，u 可以选其中两因子中的任意一个

③ 被积函数为 $P_n(x)\ln x,P_n(x)\arcsin x,P_n(x)\arctan x$ 等形式时，一般分别选取 $u=\ln x,u=\arcsin x,u=\arctan x$

（2）分部积分法的推广公式与 $\int P_n(x)e^{kx}dx,\int P_n(x)\sin axdx,\int P_n(x)\cos bxdx$

设函数 u 与 v 具有直到第 (n+1) 阶的连续导数，并根据分部积分公式 $\int udv=uv-\int vdu$，则有

$$\int u{v}^{(n+1)}dx=u{v}^{(n)}-u^{\prime }{v}^{(n-1)}+u^{″}{v}^{(n-2)}-\cdots +(-1{)}^n{u}^{(n)}v+(-1{)}^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx$$

5. 有理函数的积分

（1）定义 形如 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n<m)$ 的积分称为有理函数的积分，其中 $P_n(x),Q_m(x)$ 分别是 x 的 n 次多项式

（2）方法 先将 $Q_m(x)$ 因式分解，再把 $\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ 拆成若干最简有理分式之和

（3）分解的基本原则

① $Q_m(x)$ 的一次单因式 $ax+b$ 产生一项 $\frac{A}{ax+b}$

② $Q_m(x)$ 的 k 重一次因式 $(ax+b{)}^k$ 产生 k 项，分别为 $\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(ax+b{)}^k}$

③ $Q_m(x)$ 的二次单因式 $p{x}^2+qx+r$ 产生一项 $\frac{Ax+B}{p{x}^2+qx+r}$

④ $Q_m(x)$ 的 k 重二次因式 $(p{x}^2+qx+r{)}^k$ 产生 k 项 $\frac{A_{1}x+B_1}{p{x}^2+qx+r}+\frac{A_{2}x+B_2}{(p{x}^2+qx+r{)}^2}+\cdots +\frac{A_{k}x+B_k}{(p{x}^2+qx+r{)}^k}$

（二）定积分的计算

定积分的计算，主要依赖于牛顿-莱布尼茨公式

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{F^{\prime }(x)=f(x)}{=}F(x){|}_a^b=F(b)-F(a)$

【注】前面已经指出，含有间断点的函数也可能存在原函数，例如

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x},& x\ne 0\\ \\ 0,& x=0\end{array}$$

在 $x=0$ 处不连续，但显然 $F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ \\ 0,& x=0\end{array}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，因为 $f(x)$ 是在 $[0,1]$ 上只有一个间断点 ($x=0$) 的有界函数，所以可积，从而 ${\int }_0^{1}f(x)dx=F(x){|}_0^1=\sin 1$

这里用到了牛顿-莱布尼茨公式的推广：在积分区间 $[a,b]$ 上只有有限个间断点的被积函数 $f(x)$，只要其在 $[a,b]$ 上存在原函数，牛顿-莱布尼茨公式依然成立。

由牛顿-莱布尼茨公式结合不定积分的计算方法，有定积分的换元积分法和分部积分法，分别如下

1. 定积分的换元积分法

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，函数 $x=\phi (t)$ 满足 ① $\phi (\alpha )=a,\phi (\beta )=b;$ ② $x=\phi (t)$ 在 $[\alpha ,\beta ](\mathrm{或}[\beta ,\alpha ])$ 上有连续的导数，且其值域为 $R_{\phi }=[a,b]$，则有

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$$

【注】当 $\phi (t)$ 的值域 $R_{\phi }$ 超出 $[a,b]$，但 $\phi (t)$ 满足其余条件时，只要 $f(x)$ 在 $R_{\phi }$ 上连续，则上述结论仍成立。

2. 定积分的分部积分法

$${\int }_a^{b}u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}v(x)u^{\prime }(x)dx$$

这里要求 $u^{\prime }(x),v^{\prime }(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续

【注】在计算定积分时，下面这些结论是很有用的

（1）设 $f(x)$ 为连续的偶函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

（2）设 $f(x)$ 为连续的奇函数，则 ${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

（3）设 $f(x)$ 是以 $T$ 为周期的连续函数，则 ${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx$，即在长度为一个周期的区间上的定积分，与该区间的起点位置无关。

（4）设 $f(x)$ 为连续函数，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx$，“区间再现公式”

（5）${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{ll}\frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{2}{3}\cdot 1,& n\mathrm{为}\mathrm{大}\mathrm{于}1\mathrm{的}\mathrm{奇}\mathrm{数},\\ \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \cdots \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2},& n\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{偶}\mathrm{数}\end{array}$