数学公式

预备知识

三角函数与反三角函数

三角函数的公式

1. 同角三角函数基本关系式

1. ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
2. $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
3. $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
4. ${\sec }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$
5. ${\csc }^{2}x=1+{\cot }^{2}x$

2. 倍角公式

1. $\sin 2x=2\sin x\cos x$
2. $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$
3. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

3. 半角公式

1. $\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$
2. $\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

4. 和差公式

1. $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2. $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
3. $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$

• $\sin (x+2\pi )=\sin x$
• $\sin (x+\pi )=-\sin x$

5. 和差化积公式

1. $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
2. $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$
3. $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$
4. $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$

6. 积化和差公式

1. $\sin \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\sin (\alpha +\beta )+\sin (\alpha -\beta )]$
2. $\sin \alpha \sin \beta =-\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )-\cos (\alpha -\beta )]$
3. $\cos \alpha \cos \beta =\frac{1}{2}[\cos (\alpha +\beta )+\cos (\alpha -\beta )]$

反三角函数

1. $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}(-1\le x\le 1)$
2. $\arctan x+\text{arccot}x=\frac{\pi }{2}(-\mathrm{\infty }\le x\le \mathrm{\infty })$

常见不等式及数列

常见不等式

• $||a|-|b||\le |a-b|\le |a|+|b|$
• $a^2+b^2\ge 2ab$ 或 $|ab|\le \frac{a^2+b^2}{2}$
• $\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$

一般地，设 $a_i\ge 0(i=1,2,\dots n)$，则有

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

设 $a_i,b_i(i=1,2,\dots n)$ 为两组常数，则一次即可完成

$$(a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n{)}^2\le (a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2)$$

常见的数列及公式

等差数列的前 n 项和公式：$S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}d$

等比数列的前 n 项和公式：$S_n=\{\begin{array}{ll}\frac{a(1-q^n)}{1-q},& q\ne 1\\ an,& q=1\end{array}$

• $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$
• $1^2+2^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

第一章 函数、极限与连续

几个常见的泰勒公式（x → 0）

$$\begin{array}{rl}& sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ & arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ & cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\\ & tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ & ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & (1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

对数函数

$$\{\begin{array}{l}\ln ab=\ln a+\ln b(\mathrm{积}\mathrm{变}\mathrm{和})\\ \ln \frac{b}{a}=\ln a-\ln b(\mathrm{商}\mathrm{变}\mathrm{差})& & & & & & & (a,b>0)\\ \ln a^b=b\ln a(\mathrm{幂}\mathrm{次}\mathrm{变}\mathrm{倍}\mathrm{数})\end{array}$$

$e^x=\sum _{n=0}^n\frac{x^n}{n!}$ $2^x=e^{x\ln 2}=\sum _{n=0}^n\frac{(x\ln 2{)}^n}{n!}$

常见的函数

• $f(x)$ 与 $f(-x)$ 关于 $y$ 轴对称；$f(x)$ 与 $-f(x)$ 关于 $x$ 轴对称；$f(x)$ 与 $-f(-x)$ 关于 y 原点对称；
• $\ln x+\sqrt{x^2+1}$ 是常见的奇函数

导数公式

$$\begin{array}{rlr}& (\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x& (arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ \\ & (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\\ \\ & (\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})& (\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ \\ & (u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}& (uv{)}^{(n)}=\sum \mathrm{\_}{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\end{array}$$$$\mathrm{曲}\mathrm{率}K=\frac{|y^{″}(x)|}{(1+y^{\prime 2}(x){)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{曲}\mathrm{率}\mathrm{半}\mathrm{径}R=\frac{1}{K}$$

若 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\ne \underset{x\to x_0^{-}}{lim}$，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在

$$lim\ast x\to \mathrm{\infty }\frac{a_n{x}^n+a\ast n-1x^{n-1}+\cdots +a\ast 1x+a_0}{b_m{x}^m+b\ast m-1x^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{b_m},& n=m,\\ \mathrm{\infty },& n>m,\\ 0,& n<m\end{array}$$$$$$