几个常见的泰勒公式（x → 0）

$$\begin{array}{rl}& sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ & arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ & cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\\ & tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ & ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ & (1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

对数函数

$$\{\begin{array}{l}\ln ab=\ln a+\ln b(\mathrm{积}\mathrm{变}\mathrm{和})\\ \ln \frac{b}{a}=\ln a-\ln b(\mathrm{商}\mathrm{变}\mathrm{差})& & & & & & & (a,b>0)\\ \ln a^b=b\ln a(\mathrm{幂}\mathrm{次}\mathrm{变}\mathrm{倍}\mathrm{数})\end{array}$$

$e^x=\sum _{n=0}^n\frac{x^n}{n!}$ $2^x=e^{x\ln 2}=\sum _{n=0}^n\frac{(x\ln 2{)}^n}{n!}$

不等式

• $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}(a,b>0)$;$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le \sqrt{ab}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}(a,b>0)$
• $||a|-|b||\le |a-b|$

常见的函数

• $f(x)$ 与 $f(-x)$ 关于 $y$ 轴对称；$f(x)$ 与 $-f(x)$ 关于 $x$ 轴对称；$f(x)$ 与 $-f(-x)$ 关于 y 原点对称；
• $\ln x+\sqrt{x^2+1}$ 是常见的奇函数

导数公式

$$\begin{array}{rlr}& (\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x& (arctanx{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\\ \\ & (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a\\ \\ & (\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})& (\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\\ \\ & (u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}& (uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\end{array}$$

三角函数

诱导公式

$\sin (x+2\pi )=\sin x$ $\sin (x+\pi )=-\sin x$

若 $y=\sin x$，$x\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，则 $x=\pi -\arcsin y$

$$\begin{gathered} \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta } \\ 1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x \end{gathered}$$$$\mathrm{曲}\mathrm{率}K=\frac{|y^{″}(x)|}{(1+y^{\prime 2}(x){)}^{\frac{3}{2}}}\mathrm{曲}\mathrm{率}\mathrm{半}\mathrm{径}R=\frac{1}{K}$$

若 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\ne \underset{x\to x_0^{-}}{lim}$，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在

$1-\cos x\ge 0$

当 $x\to 0$ 时，$\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)\sim \frac{1}{2}{x}^3$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{b_m},& n=m,\\ \mathrm{\infty },& n>m,\\ 0,& n<m\end{array}$$