第 11 讲 多元函数微分学

一、基本概念

1. 平面点集的基本概念

在平面上建立直角坐标系 $xOy$，则平面上的点就可用两个实数组成的有序数组 $(x,y)$ 来表示，而二元函数 $f(x,y)$ 的定义域恰是以两个实数组成的有序数组 $(x,y)$ 为元素的集合，于是 $f(x,y)$ 的定义域就是平面上的点集。下面给出平面点集的一些基本概念。

（1）平面上任意两点 $M_1(x_1,y_1)$ 与 $M_2(x_2,y_2)$ 之间的距离定义为

$$\rho (M_1,M_2)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

其中记号 $\rho (M_1,M_2)$ 表示点 $M_1$ 与 $M_2$ 的距离，它满足三个要素：

① 非负性：$\rho (M_1,M_2)\ge 0$；

② 对称性：$\rho (M_1,M_2)=\rho (M_2,M_1)$

③ 三角不等式 $\rho (M_1,M_3)\le \rho (M_1,M_2)+\rho (M_2,M_3)$

（2）设 $M_0$ 为平面上的一个点，$\delta >0$，则平面上以点 $M_0$ 为圆心，以 $\delta$ 为半径的圆的内部叫作点 $M_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(M_0,\delta )$（如图 1-11-1），也即

$$U(M_0,\delta )=\{M|\rho (M_0,M)<\delta ,M\mathrm{在}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{上}\}$$

若在上述邻域中去掉圆心 $M_0$，则叫作点 $M_0$ 的 $\delta$ 的去心邻域，记作 $\mathring{U}(M_0,\delta )$（如图 1-11-2），也即

$$\mathring{U}(M_0,\delta )=\{M|0<\rho (M_0,M)<\delta ,M\mathrm{在}\mathrm{平}\mathrm{面}\mathrm{上}\}$$

（3）给定平面上的一个点集 E，可用上述邻域的概念将平面上的点分类为内点、外点和边界点，下面分别叙述之。

设 M 为平面上的一个点，若存在 $\delta >0$，使得 $U(M,\delta )\text{sub}E$，则 M 为点集 E 的内点，如图 1-11-3 所示。

若存在 $\delta >0$ 使得$U(M,\delta )\cap E=\text{empty}$，则 M 为点集 E 的外点，如图 1-11-4 所示。

若对任意的 $\delta >0$，$U(M,\delta )$ 中既有 E 中的点，也有 E 外的点，则 M 为点集 E 的边界点，如图 1-11-5 所示。且 E 的所有边界点的集合称为 E 的边界，记作 $\partial E$。显然，任意一个点集 E 与它的余集 $E^C$ 有公共边界，即 $\partial E=\text{part}{E}^C$。

（4）有了上述概念后，我们再对点集的各种称呼作一叙述。

设 E 为一个平面点集，若存在常数 $\delta >0$，使得 $E\text{sub}U(O,\delta )$（这里 O 是指坐标原点），则 E 为有界集，如图 1-11-6 所示，否则，E 就是无界集。

若 E 中的每个点都是 E 的内点，则 E 为开集；若 E 的边界点都是 E 的点，则 E 为闭集。显然，若一个点集是开集，其余集必是闭集；若一个点集是闭集，其余集必是开集。

设 E 为一个平面点集，若对于 E 中的任意两点，都可用一条完全属于 E 的折线（说成曲线亦可）将这两点连接起来，则这样的 E 为（道路）连通集（如图 1-11-7），连通的开集叫开区域。一个开区域和它的边界点集的并集叫闭区域。开区域、闭区域统称为区域。

若 E 是一个平面区域，且 E 内的任一条简单闭曲线的内部还在 E 内，则这样的 E 称为单连通区域，否则就叫多连通区域。

（5）还有两个重要概念，放在这部分最后讲。

设 E 是一个平面点集，$M_0$ 为平面上的一个点，若对任意的 $\delta >0$，总有 $\mathring{U}(M_0,\delta )\cap E\ne \text{empty}$，即 $M_0$ 的任意邻域中都含有异于 $M_0$ 的 E 中的点，则称 $M_0$ 为 E 的聚点，显然，非空开集的内点与边界点都是这个点集的聚点，闭区域的任何一点都是它的聚点。

若存在 $\delta >0$，使得 $U(M_0,\delta )\cap E=\{M_0\}$，即如果 $M_0$ 的某一邻域与点集 E 的交集是一个孤立的点 $M_0$，则称点 $M_0$ 为 E 的孤立点，如图 1-11-8 所示。显然，边界点要么是聚点，要么是孤立点。

2. 极限

关于二元函数的极限，有两种定义。下面第一种定义是大部分数学分析教材从点集角度出发的；第二种定义是大部分高等数学教材从邻域角度出发的。

第一种定义：

定义 1  设二元函数 $f(P)=f(x,y)$ 的定义域为 D，$P_0(x_0,y_0)$ 是 D 的聚点。如果存在常数 A，对于任意给定的正数 $\xi$，总存在正数 $\delta$，使得当点 $P(x,y)\in D\cap \mathring{U}(P_0,\delta )$ 时，都有

$$|f(x,y)-A|<\xi$$

成立，那么就称常数 A 为函数 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to (x_0,y_0)$ 时的极限，记作

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A\mathrm{或}f(x,y)\to A((x,y)\to (x_0,y_0))$$

以上是按集合论知识（以点集趋向方式）定义多元极限，通俗说来，只要 $f(x,y)$ 是 “有定义的”，且满足 $|f(x,y)-A|<\xi$，则 $\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}f(x,y)=A$，这里自然 “排除” 了 $(x_0,y_0)$ 邻域内的无定义点，所以

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{xy+1-1}{xy(\sqrt{xy+1}+1)}=\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{lim}\frac{1}{\sqrt{xy+1}+1}=\frac{1}{2}$$

第二种定义：

定义 1‘  若二元函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的去心邻域内有定义，且 $(x,y)$ 以任意方式趋向于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 均趋向于 A，则 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}f(x,y)=A$。

根据定义 1’，由于函数 $f(x,y)=\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$ 在原点的邻域内的坐标轴上处处无定义，如图 1-11-9 所示，于是 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}\frac{\sqrt{xy+1}-1}{xy}$ 不存在。

按照这两种定义，你会得出

$$\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x+y}=\{\begin{array}{ll}0,& （\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{种}\mathrm{定}\mathrm{义}）\\ \\ \mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}，& （\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{种}\mathrm{定}\mathrm{义}）\end{array}$$

所以，为避免这种教材定义不同导致的 “矛盾”，命题人目前处理得比较恰当，只考这种无论在哪种定义下极限都存在或都不存在的函数，比如：$\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2}=0$

3. 连续

如果 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，则称 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续。

4. 偏导数

定义 2  设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某邻域内有定义。若极限

$$\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{△}x}$$

存在，则称此极限为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 x 的偏导数，记作

$$\frac{\text{part}z}{\text{part}x}{|}_{\begin{array}{r}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},\frac{\text{part}f}{\text{part}x}{|}_{\begin{array}{r}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},z_x^{\prime }{|}_{\begin{array}{r}x=x_0\\ y=y_0\end{array}},\mathrm{或}{f}_x^{\prime }(x_0,y_0)$$

于是，$$\begin{gathered} f_x^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{△}x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{△}x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{△}x}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x,y_0)-f(x_0-y_0)}{x-x_0} \\ {f}_y^{\prime }(x_0,y_0)=\underset{\mathrm{△}\to 0}{lim}\frac{f(x_0,y_0+\mathrm{△}y)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{△}y}=\underset{y\to y_0}{lim}=\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0} \end{gathered}$$

如果函数 $z=f(x,y)$ 在区域 D 内的偏导数 $f_x^{\prime }(x,y),f_y^{\prime }(x,y)$ 仍具有偏导数，则它们的偏导数称为函数 $z=f(x,y)$ 的二阶偏导数。按照对变量求导次序的不同，有如下四个二阶偏导数：

$$\begin{gathered} \frac{\text{part}}{\text{part}x}(\frac{\text{part}z}{\text{part}x})=\frac{{\text{part}}^{2}z}{\text{part}{x}^2}=f_{xx}^{″}(x,y),\frac{\text{part}}{\text{part}y}(\frac{\text{part}z}{\text{part}x})=\frac{{\text{part}}^{2}z}{\text{part}x\text{part}y}=f_{xy}^{″}(x,y), \\ \frac{\text{part}}{\text{part}x}(\frac{\text{part}z}{\text{part}y})=\frac{{\text{part}}^{2}z}{\text{part}y\text{part}x}=f_{yx}^{″}(x,y),\frac{\text{part}}{\text{part}y}(\frac{\text{part}z}{\text{part}y})=\frac{{\text{part}}^{2}z}{\text{part}{y}^2}=f_{yy}^{″}(x,y) \end{gathered}$$

其中 $f_{xy}^{″}(x,y),f_{yx}^{″}(x,y)$ 称为混合偏导数。同样可得三阶、四阶以及 n 阶偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

5. 可微

定义 3  如果函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全增量 $\mathrm{△}z=f(x+\mathrm{△}x,y+\mathrm{△}y)-f(x,y)$ 可表示为

$$\mathrm{△}z=A\mathrm{△}x+B\mathrm{△}y=o(\rho )$$

其中 $\rho =\sqrt{(\mathrm{△}x{)}^2+(\mathrm{△}y{)}^2}$，A，B 不依赖于 $\mathrm{△}x,\mathrm{△}y$ 而仅与 $x,y$ 有关，则称函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，而称 $A\mathrm{△}x+B\mathrm{△}y$ 为函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 的全微分，记作 $dz$，即 $dz=A\mathrm{△}x+B\mathrm{△}y$。

判断函数 $z=f(x,y)$ 是否可微，步骤如下：

① 写出全增量 $\mathrm{△}z=f(x_0+\mathrm{△}x,y_0+\mathrm{△}y)-f(x_0,y_0)$；

② 写出线性增量 $A\mathrm{△}x+B\mathrm{△}y$，其中 $A=f_x^{\prime }(x_0,y_0),B=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$；

③ 作极限 $\underset{\begin{array}{r}\mathrm{△}x\to 0\\ \mathrm{△}y\to 0\end{array}}{lim}\frac{\mathrm{△}z-(A\mathrm{△}x+B\mathrm{△}y)}{\sqrt{(\mathrm{△}x{)}^2+(\mathrm{△}y{)}^2}}$，若该极限等于 0，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 可微，否则，就不可微。

6. 偏导数的连续性

对于 $z=f(x,y)$，讨论其在某特殊点 $(x_0,y_0)$（比如二元分段函数的分段点）处的偏导数是否连续，是考研的重点，其步骤为：

① 用定义法求 $f_x^{\prime }(x_0,y_0),f_y^{\prime }(x_0,y_0)$；

② 用公式法求 $f_x^{\prime }(x,y),f_y^{\prime }(x,y)$

③ 计算 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}{f}_x^{\prime }(x,y),\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }(x,y)$

看 $\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}{f}_x^{\prime }(x,y)=f_x^{\prime }(x_0,y_0),\underset{\begin{array}{r}x\to x_0\\ y\to y_0\end{array}}{lim}{f}_y^{\prime }(x,y)=f_y^{\prime }(x_0,y_0)$ 是否成立。若成立，则 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数是连续的。

二、多元函数微分法则

1. 链式求导规则

（1）复合函数的中间变量均为一元函数的情形。复合结构图如图 1-11-11 所示。

设 $z=f(u,v),u(x)=\phi (t),v=\psi (t)$，则 $z=f[\phi (t),\psi (t)]$，且 $\frac{dz}{dt}=\frac{\text{part}z}{\text{part}u}\frac{du}{dt}+\frac{\text{part}z}{\text{part}v}\frac{dv}{dt}$

（2）复合函数的中间变量均为多元函数的情形。复合结构图如图 1.11-12 所示。

设 $z=f(u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$，则 $z=f[\phi (x,y),\psi (x,y)]$，且

$$\frac{\text{part}z}{\text{part}x}=\frac{\text{part}z}{\text{part}u}\frac{\text{part}u}{\text{part}x}+\frac{\text{part}z}{\text{part}v}\frac{\text{part}v}{\text{part}x},\frac{\text{part}z}{\text{part}y}=\frac{\text{part}z}{\text{part}u}\frac{\text{part}u}{\text{part}y}+\frac{\text{part}z}{\text{part}v}\frac{\text{part}v}{\text{part}y}$$

（3）复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形。复合结构图如图 1-11-13 所示。

设 $z=f(u,v),u=\phi (x,y),v=\psi (y)$，则 $z=f[\phi (x,y),\psi (y)]$，且

$$\frac{\text{part}z}{\text{part}x}=\frac{\text{part}z}{\text{part}u}\frac{\text{part}u}{\text{part}x},\frac{\text{part}z}{\text{part}y}=\frac{\text{part}z}{\text{part}u}\frac{\text{part}u}{\text{part}y}+\frac{\text{part}z}{\text{part}v}\frac{dv}{dy}$$

2. 隐函数存在定理（公式法）

在第 1 讲提出的函数定义中，对每个 $x\in D$，对应的函数值 y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数。如果给定一个对应法则，按这个法则，对每个 $x\in D$，总有确定的 y 值与之对应，但这个 y 不是唯一的，于是，这样的法则就不符合函数的定义了，我们称这种法则确定了一个多值函数。在考研中所提到的函数是指单值函数，也就是当自变量 x 取一个值时，这个对应法则 f 要保证因变量 y 有唯一的实数值与之对应，否则就必须分成若干个单值函数去研究，比如下述的 “隐函数存在问题”。

隐函数存在定理 1  设函数 $F(x,y)$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，$F(x_0,y_0)=0$，$F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则方程 $F(x,y)=0$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 $y=f(x)$，它满足条件 $y_0=f(x_0)$，并有 $\frac{dy}{dx}=\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}$

这里的 $F_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$（也就是 $\frac{dy}{dx}$ 存在）是定理的关键。由此看来，所谓的 “隐函数存在”，是要求在一个 “指定的位置”，方程 $F(x,y)=0$ 能确定一个不仅有意义，而且要有可导这种良好性质的函数“。而在一个指定位置处可导的函数必然首先得是单值的。

隐函数存在定理 2  设函数 $F(x,y,z)$ 在点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内具有连续偏导数，且 $F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，则方程 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 $z=f(x,y)$，它满足条件 $z_0=f(x_0,y_0)$，并有

$$\frac{\text{part}z}{\text{part}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{\text{part}z}{\text{part}y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$$

此公式的证明同样简单，将 $z=f(x,y)$ 代入 $F(x,y,z)=0$，得 $F(x,y,f(x,y))\equiv 0$，式子两端分别对 x 和 y 求偏导数，得 $F_x^{\prime }+F_z^{\prime }\cdot \frac{\text{part}z}{\text{part}x}=0,F_y^{\prime }+F_z^{\prime }\cdot \frac{\text{part}z}{\text{part}y}=0$，

因为 $F_z^{\prime }$ 连续且 $F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$，所以存在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 的一个邻域，使 $F_z^{\prime }\ne 0$，于是得

$$\frac{\text{part}z}{\text{part}x}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_z^{\prime }},\frac{\text{part}z}{\text{part}y}=-\frac{F_y^{\prime }}{F_z^{\prime }}$$

同理，$F_z^{\prime }(x_0,y_0,z_0)\ne 0$（也就是 $\frac{\text{part}z}{\text{part}x},\frac{\text{part}z}{\text{part}y}$ 都存在且连续）是定理的关键。

三、多元函数的极值与最值

1. 概念

定义 4  若存在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域，使得在该邻域内任意一点 $(x,y)$，均有

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)(\mathrm{或}f(x,y)\ge f(x_0,y_0))$$

成立，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的广义的极大值点（或极小值点），$f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$的广义的极大值（或极小值）。

定义 5  若存在 $(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域，使得对于该邻域内任意一点 $(x,y)$，均有

$$f(x,y)<f(x_0,y_0)(\mathrm{或}f(x,y)>f(x_0,y_0))$$

成立，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的真正的极大值点（或极小值点），$f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$的真正的极大值（或极小值）。

定义 6  设 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 定义域内一点，若对于 $f(x,y)$ 的定义域内任意一点 $(x,y)$，均有

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)(\mathrm{或}f(x,y)\ge f(x_0,y_0))$$

成立，则称 $f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$的广义的最大值（或最小值）。

定义 7  设 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 定义域内一点，若对于 $f(x,y)$ 的定义域内任意一个异于 $(x_0,y_0)$ 的点 $(x,y)$，均有

$$f(x,y)\le f(x_0,y_0)(\mathrm{或}f(x,y)\ge f(x_0,y_0))$$

成立，则称 $f(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$的真正的最大值（或最小值）。

2. 无条件极值

（1）二元函数取极值的必要条件（类比一元函数）。

设 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)\{\begin{array}{l}\mathrm{一}\mathrm{阶}\mathrm{偏}\mathrm{导}\mathrm{数}\mathrm{存}\mathrm{在}，\\ \mathrm{取}\mathrm{极}\mathrm{值},\end{array}$ 则 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)=0$。

（2）二元函数取极值的充分条件

记 $\{\begin{array}{l}{f}_{xx}^{″}(x_0,y_0)=A,\\ f_{xy}^{″}(x_0,y_0)=B,\\ f_{yy}^{″}(x_0,y_0)=C,\end{array}$ 则 $\mathrm{△}=B^2-AC\{\begin{array}{l}<0\Rightarrow \mathrm{极}\mathrm{值}\{\begin{array}{l}A<0\Rightarrow \mathrm{极}\mathrm{大}\mathrm{值},\\ A>0\Rightarrow \mathrm{极}\mathrm{小}\mathrm{值},\end{array}\\ >0\to \mathrm{非}\mathrm{极}\mathrm{值},\\ =0\Rightarrow \mathrm{方}\mathrm{法}\mathrm{失}\mathrm{效}，\mathrm{另}\mathrm{谋}\mathrm{它}\mathrm{法}.\end{array}$

综合（1），（2）可用必要条件求出可疑点，用充分条件判别可疑点。

3. 条件极值与拉格朗日乘数法

求目标函数 $u=f(x,y,z)$ 在条件 $\{\begin{array}{l}\phi (x,y,z)=0,\\ \psi (x,y,z)=0,\end{array}$ 下的最值，则

① 构造辅助函数 $F(x,y,z,\lambda ,\mu )=f(x,y,z)+\lambda \phi (x,y,z)+\mu \psi (x,y,z)$；

② 令

$$\{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=f_x^{\prime }+\lambda {\phi }_x^{\prime }+\mu {\psi }_x^{\prime }=0,\\ F_y^{\prime }=f_y^{\prime }+\lambda {\phi }_y^{\prime }+\mu {\psi }_y^{\prime }=0,\\ F_z^{\prime }=f_z^{\prime }+\lambda {\phi }_z^{\prime }+\mu {\psi }_z^{\prime }=0,\\ F_{\lambda }^{\prime }=\phi (x,y,z)=0,\\ F_{\mu }^{\prime }=\psi (x,y,z)=0,\end{array}$$

③ 解上述方程组得备选点 $P_i,i=1,2,3,\cdots ,n$，并求 $f(P_i)$，取其最大值为 $u_{max}$，最小值为 $u_{min}$；

④ 根据实际问题，必存在最值，所得即为所求。