第 9 讲 一元函数积分学的几何应用

假设以下曲线都是连续的。

1. 用定积分表达和计算平面图形的面积

（1）曲线 $y=y_1(x)$ 与 $y=y_2(x)$ 及 $x=a,x=b(a<b)$ 所围成的平面图形的面积

$$S={\int }_a^b|y_1(x)-y_x(x)|dx$$

（2）曲线 $r=r_1(\theta )$ 与 $r=r_2(\theta )$ 与两射线 $\theta =\alpha$ 与 $\theta =\beta (0<\alpha -\beta \le 2\pi )$ 所围成的曲边扇形的面积

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }|r_1^2(\theta )-r_2^2(\theta )|d\theta$$

2. 用定积分表达和计算旋转体的体积

（1）曲线 $y=y(x)$ 与 $x=a,x=b(a<b)$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形绕 $x$ 轴一周所得到的旋转体的体积

$$V={\int }_a^b\pi y^2(x)dx$$

（2）曲线 $y=y_1(x)\ge 0$ 与 $y=y_2(x)\ge 0$ 及 $x=a,x=b(a<b)$ 所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积

$$V=\pi {\int }_a^b|y_1^2(x)-y_2^2(x)|dx$$

（3）曲线 $y=y(x)$ 与 $x=a,x=b(0\le a<b)$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形绕 $y$ 轴一周所得到的旋转体的体积

$$V_y=2\pi {\int }_a^{b}x|y(x)|dx$$

（4）曲线 $y=y_1(x)$ 与 $y=y_2(x)$ 及 $x=a,x=b(0\le a\le b)$ 所围成的平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积

$$V=2\pi {\int }_a^{b}x|y_1(x)-y_2(x)|dx$$

3. 用定积分表达和计算函数的平均值

设 $x\in [a,b]$，函数 $y(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $\bar{y}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}y(x)dx$