第 12 讲 二重积分

一、概念、性质与对称性

1. 几何背景

二重积分的几何背景就是曲顶柱体的体积。

简单来说，第 8 讲用 “分割、近似、求和、取极限” 的方法与步骤求出了二维平面上 “曲边梯形的面积”，现在我们可以用同样的办法求出 “曲顶柱体的体积”，这就是二重积分 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma$。

具体来说，设 $f(x,y)\ge 0$，如图 1-12-1 所示，被积函数 $f(x,y)$ 可作为曲顶柱体在点 $(x,y)$ 处柱体微元的竖坐标（高），用底面积 $d\sigma$ 乘以高 $f(x,y)$ 得到一个 “小竖条” 的体积，再在区域 D 上把所有的 “小竖条” 累加起来，就得到了整个曲顶柱体的体积。若 $f(x,y)<0$，柱体就在 $xOy$ 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。不过，无论高 $f(x,y)$ 是正还是负，底面积 $d\sigma$ 不能是负的，即 $d\sigma >0$，这一点要注意，否则就不符合二重积分的定义了。

在考研数学中，一般总假设 $f(x,y)$ 在 D 上可积，即二重积分总是存在的。

2. 性质

性质 1（求区域面积） $\underset{D}{\iint }1\cdot d\sigma =\underset{D}{\iint }d\sigma =A$，其中 A 为 D 的面积。

性质 2（可积函数必有界） 当 $f(x,y)$ 在有界区域 D 上可积时，则 $f(x,y)$ 在 D 上必有界。

性质 3（积分的线性性质） 设 $k_1,k_2$ 为常数，则

$$\underset{D}{\iint }[k_{1}f(x,y)\pm k_{2}g(x,y)]d\sigma =k_1\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \pm k_2\underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$$

性质 4（积分的可加性） 当 $f(x,y)$ 在有界区域 D 上可积时，且 $D_1\cup D_2=D,D_1\cap D_2=\text{empty}$，则

$$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D_1}{\iint }f(x,y)d\sigma +\underset{D_2}{\iint }f(x,y)d\sigma$$

性质 5（积分的保号性） 当 $f(x,y),g(x,y)$ 在有界闭区域 D 上可积时，若在 D 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则有 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le \underset{D}{\iint }g(x,y)d\sigma$。特殊地有 $|\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma |\le \underset{D}{\iint }|f(x,y)|d\sigma$。

性质 6（二重积分的估值定理） 设 M，m 分别是 $f(x,y)$ 在有界闭区域 D 上的最大值和最小值，A 为 D 的面积，则有 $mA\le \underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma \le MA$。

性质 7（二重积分的中值定理） 设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 D 上连续，A 为 D 的面积，则在 D 上至少存在一点 $(\xi ,\eta )$，使得 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )A$。

3. 普通对称性与轮换对称性

若把 x 与 y 对调后，区域 D 不变（或区域 D 关于 y=x 对称），则 $\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma =\underset{D}{\iint }f(y,x)d\sigma$，这就是轮换对称性。

二、计算

1. 直角坐标系下的计算法

在直角坐标系下，按照积分次序的不同，一般将二重积分的计算分为两种情况，如图 1-12-3 所示：

（1）$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$，其中 D 为 X 型区域：${\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x),a\le x\le b$。

（2）$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_c^{d}dy{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dy$，其中 D 为 Y 型区域：${\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y),c\le y\le d$。

有一点需要指出，这里的下限都必须小于等于上限。

2. 极坐标系下的计算法

在极坐标系下，按照积分区域与极点位置关系的不同，一般将二重积分的计算分为三种情况，如图 1-12-4 所示：

（1）$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$（极点 O 在区域 D 外部）；

（2）$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }{\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$（极点 O 在区域 D 边界上）；

（3）$\underset{D}{\iint }f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{2\pi }{\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$（极点 O 在区域 D 内部）。

3. 极坐标系与直角坐标系选择的一般原则

一般来说，给出一个二重积分。

① 先看被积函数是否为 $f(x^2+y^2),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$ 等形式；

② 再看积分区域是否为圆或者圆的一部分。

如果两者兼是，那么优先选用极坐标系。否则，就优先考虑直角坐标系。（这这是一般原则，是大方向，请大家一定不要教条化）

4. 极坐标与直角坐标系的互相转化

把握两个桥梁就可以，一是用好 $\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta ,\\ y=r\sin \theta \end{array}$ 这个公式，二是画好区域 D 的图形，确定好上、下限的转化。