第 4 讲 线性方程组

一、线性方程组与向量组其实是一回事

二、齐次线性方程组

方程组

$$\begin{array}{}\text{(}\text{I}\text{)}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=0\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=0\end{array}\end{array}$$

称为 m 个方程 n 个未知量的齐次线性方程组，其向量形式为

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$$

其中，

$${\alpha }_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right],j=1,2,\cdots ,n$$

其矩阵形式为

$$A_{m\times n}x=0$$

其中，

$$A_{m\times n}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

1. 有解的条件

当 $r(A)=n$ 时(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关)，方程组 (I) 有唯一零解；

当 $r(A)=r<n$ 时(${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性相关关)，方程组 (I) 有非零解，且有 n-r 个线性无关解。

2. 解的性质

若 $A{\xi }_1=0$，$A{\xi }_2=0$，则 $A(k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2)=0$，其中 $k_1,k_2$ 是任意常数。

3. 基础解系和解的结构

（1）基础解系：设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$ 满足

① 是方程组 $Ax=0$ 的解；

② 线性无关；

③ 方程组 $Ax=0$ 的任一解均可由 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$ 线性表出，

则称 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的基础解系。

（2）通解：设 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的基础解系，则 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$ 是方程组 $Ax=0$ 的通解，其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_{n-r}$ 是任意常数。

4. 求解方法与步骤

① 将系数矩阵 A 作初等行变换化成阶梯形矩阵 B（或最简阶梯形矩阵 B），初等行变换将方程组化为同解方程组，故 $Ax=0$ 和 $Bx=0$ 同解，只需解 $Bx=0$ 即可。设 $r(A)=r$,

$$A\stackrel{\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}}{\to }B={\left[\begin{array}{cccccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1r}& \cdots & c_{1n}\\ 0& c_{22}& \cdots & c_{2r}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & c_{rr}& \cdots & c_{rn}\\ 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0\end{array}\right]}_{m\times n}$$

其中，m 是原方程组中方程个数，n 是未知量个数。

② 按列找出一个秩为 r 的子矩阵，则剩余列位置的未知数即设为自由变量。

③ 按基础解系定义求出 ${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots {\xi }_{n-r}$，并写出通解。

三、非齐次线性方程组

方程组

$$\begin{array}{}\text{(}\text{II}\text{)}& \{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2\\ \cdots \cdots \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m\end{array}\end{array}$$

称为 m 个方程 n 个未知量的非齐次线性方程组，其向量形式为 $x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=b$，其中

$${\alpha }_j=\left[\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right],j=1,2,\cdots ,n,b=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right]$$

其矩阵形式为 $Ax=b$，其中

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right],x=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$

矩阵 $\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}& b_1\\ a_{21}& a_{12}& \cdots & a_{2n}& b_2\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}& b_n\end{array}\right]$ 称为矩阵 A 的增广矩阵，简记为 $\left[\begin{array}{cc}A& b\end{array}\right]$ 或 $[A,b]$。

1. 有解的条件

若 $r(A)\ne r([A,b])$（b 不能由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性表出），则方程组 (II) 无解；

若 $r(A)=r([A,b])=n$（即 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 线性无关，${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n,b$ 线性相关），则方程组 (II) 有唯一解；

若 $r(A)=r([A,b])=r<n$，则方程组 (II) 有无穷多解。

2. 解的性质

设 ${\eta }_1,{\eta }_2$，$\eta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是对应齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解，则：① ${\eta }_1-{\eta }_2$ 是 $Ax=0$ 的解；② $k\xi +\eta$ 是 $Ax=b$ 的解。

3. 求解方法与步骤

将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形（或最简阶梯形）矩阵，求出对应齐次线性方程组的通解，再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解。

① 写出 $Ax=b$ 的导出方程组 $Ax=0$，并求 $Ax=0$ 的通解 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}$。

② 求出 $Ax=b$ 的一个特解 $\eta$

③ 则 $Ax=b$ 的通解为 $k_1{\xi }_1+k_2{\xi }_2+\cdots +k_{n-r}{\xi }_{n-r}+\eta$，其中 $k_1,k_2,\cdots ,k_{n-r}$ 为任意常数。

方程组有解的条件及解的判别

（1）$Ax=0$：总有解，至少有零解

（2）$A_{m\times n}x=0$：$\begin{array}{rl}& r(A)=n,\mathrm{只}\mathrm{有}\mathrm{零}\mathrm{解};\\ & r(A)<n,\mathrm{有}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{多}\mathrm{解}\end{array}$

（3）$A_{m\times n}x=b$：$\begin{array}{rl}& r(A)\ne r([A,b]),\mathrm{无}\mathrm{解};\\ & r(A)=r([A,b])=n,\mathrm{有}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{解};\\ & r(A)=r([A,b])=r<n,\mathrm{有}\mathrm{无}\mathrm{穷}\mathrm{多}\mathrm{解}\end{array}$

【注】（1）若 $Ax=0$ 只有零解，则 $r(A)=n\nRightarrow r([A,b])=n$，故 $Ax=b$ 可能有解，可能无解。

（2）若 $Ax=0$ 有无穷多解（有非零解），则 $r(A)<n(\mathrm{列}\mathrm{不}\mathrm{满}\mathrm{秩})\nRightarrow r(A)=r([A,b])$，故 $Ax=b$ 可能有解，可能无解。

（3）若 A 行满秩，则 $r(A)=r([A,b])$，故 $Ax=b$ 必有解。

（4）若 $Ax=b$ 有唯一解，则 $r(A)=r([A,b])=A\mathrm{的}\mathrm{列}\mathrm{数}$，故 $Ax=0$ 只有零解。

（5）若 $Ax=b$ 有无穷多解，则 $r(A)=r([A,b])<A\mathrm{的}\mathrm{列}\mathrm{数}$，故 $Ax=0$ 有非零解

同解方程组

若两个方程组 $A_{m\times n}x=0$ 和 $B_{s\times n}x=0$ 有完全相同的解，则称为同解方程组。

$\begin{array}{rl}\mathrm{于}\mathrm{是},& Ax=0,Bx=0\mathrm{是}\mathrm{同}\mathrm{解}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{组}\\ & \iff Ax=0\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{满}\mathrm{足}Bx=0\mathrm{且}Bx=0\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{满}\mathrm{足}Ax=0(\mathrm{互}\mathrm{相}\mathrm{把}\mathrm{解}\mathrm{代}\mathrm{入}\mathrm{求}\mathrm{出}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{即}\mathrm{可})\\ & \iff r(A)=r(B),\mathrm{且}Ax=0\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{满}\mathrm{足}Bx=0（\mathrm{或}Bx=0\mathrm{的}\mathrm{解}\mathrm{满}\mathrm{足}Ax=0）\\ & \iff r(A)=r(B)=R(\left[\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right])(\mathrm{三}\mathrm{秩}\mathrm{相}\mathrm{同}\mathrm{同}\mathrm{较}\mathrm{方}\mathrm{便})& \end{array}$