第 2 讲数列极限

1. 引言

极限，从通俗、直观的意义上讲，是一个 “无限趋近的过程”。

2. 数列极限定义

设 ${x_{n}}$ 为一数列，若存在常数 a，对于任意的 $ξ > 0$ (不论它多么小)，总存在正整数 N，使得当 $n > N$ 时， $| x_{n} - a | < ξ$ 恒成立，则称数列 ${x_{n}}$ 的极限，或者称数列 ${x_{n}}$ 收敛于 a，记为

lim_{n \to \infty} x_{n} = a 或 x_{n} \to a (n \to \infty)

如果不存在这样的数 a，就说数列 ${x_{n}}$ 时发散的。

常用的语言， $lim_{n \to \infty} x_{n} = a \Leftrightarrow \forall ξ > 0, \exist N \in N_{+}, 当 n > N 时，恒有 | x_{n} - a | < ξ$ 。

【注 1】这里用 " $ξ - N 语言$ " 来描述数列极限，符号 “ $\forall$ ” 是英文 Arbitrary(任意的) 的首字母上下方向倒着写出来的；符号 “ $\exist$ ” 是英文 Exist(存在) 的首字母左方向倒着写出来的。
【注 2】数列收敛与其子列收敛的关系。
定义从数列 ${a_{n}} : a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ 中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，称新数列为原数列的子列，记为
${a_{n_{k}}} : a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, \dots, a_{n_{k}}, \dots$ ，其中，下标 $n_{1}, n_{2}, \dots, n_{k}, \dots$ 为正整数。
定理若数列收敛，则其任何子列 ${a_{n_{k}}}$ 也收敛，且 $lim_{k \to \infty} a_{n_{k}} = lim_{n \to \infty} a_{n}$
此定理为我们提供了一个判断数列发散的方法：对于一个数列 ${a_{n}}$ ，如果能找到一个发散的子数列，则原数列一定发散；如果能找到两个收敛的子列 ${a_{n_{k}}}$ 和 ${a_{n_{j}}}$ ，但它们收敛到不同极限，则原数列也一定发散。

3. 收敛数列的性质

定理 1（唯一性） 给出数列 ${x_{n}}$ ，若 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ (存在)，则 a 是唯一的。

定理 2（有界性） 若数列 ${x_{n}}$ 极限存在，则数列 ${x_{n}}$ 有界。

定理 3（保号性） 设数列 ${a_{n}}$ 存在极限，且 a > 0(或 a < 0)，则存在正整数 N，当 n > N 时，有 a_n > 0(或 a_n < 0)。

推论如果数列 ${a_{n}}$ 从某项起有 $a_{n} \geq 0$ ，且 $lim_{n \to \infty} a_{n} = a$ ，则 $a \geq 0$

4. 极限运算规则

设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} y_{n} = b$ ，则

① $lim_{n \to \infty} (x_{n} \pm y_{n}) = a \pm b$

② $lim_{n \to \infty} x_{n} y_{n} = a b$

③ $若 b \neq 0, y_{n} \neq 0, 则 lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}} = \frac{a}{b}$

运算规则可以推广至有限个数列情形

5. 夹逼准则

如果数列 ${x_{n}}$ ， ${y_{n}}$ 及 ${z_{n}}$ 满足下列条件

① $y_{n} \leq x_{n} \leq z_{n} (n = 1, 2, 3, \dots)$ ；② $lim_{n \to \infty} y_{n} = a, lim_{n \to \infty} z_{n} = a$ ，

则数列 ${x_{n}}$ 的极限存在，且 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$

6. 单调有界准则

单调有界数列必有极限，即若数列 ${x_{n}}$ 单调增加（减少）且有上界（下界），则 $lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在。

第 2 讲 数列极限 ​

第 2 讲数列极限