第 1 讲 行列式

一、行列式的本质定义（第一种定义）

n 阶行列式是由 n 个 n 维向量 ${\alpha }_1=[a_{11},a_{12},\cdots ,a_{1n}],{\alpha }_2=[a_{21},a_{22},\cdots ,a_{2n}],\cdots ,{\alpha }_n=[a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{nn}]$ 组成的，其（运算规则的）结果为以这 n 个向量为邻边的 n 维图形的体积。

由此看来，一个重要观点出现了：读者一开始，就应该把行列式看作是若干个向量拼成的，并且要把这些向量作运算。以 3 阶行列式为例，若 $D_3\ne 0$，则意味着体积不为 0，则称组成该行列式的三个向量线性无关；若 $D_3=0$，称线性相关。

二、行列式的性质

性质 1 行列互换，其值不变，即 $|A|=|A^T|$。

性质 2 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。

性质 3 行列式中某行（列）有公因子 $k(k\ne 0)$，则 k 可提到行列式外面，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{i1}& k{a}_{i2}& \cdots & k{a}_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质 4 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和，即

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2}& \cdots & a_{in}+b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{i1}& b_{i2}& \cdots & b_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

性质 5 行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。

性质 6 行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列式为零。

性质 7 行列式中某行（列）的 k 倍加到另一行（列），行列式的值不变。

三、行列式的逆序数法定义（第二种定义）

1. 排列和逆序

排列 由 n 个数 1,2,...,n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列，如 23145 是一个 5 级排列，41352 也是一个 5 级排列。n 级排列共有 n! 个。

逆序 在一个 n 级排列 $i_1{i}_2\cdots i_s\cdots i_t\cdots i_n$ 中，若 $i_s>i_t$，且 $i_s$ 排在 $i_t$ 前面，则称这两个数构成一个逆序。

逆序数 一个排列中，逆序的总数称为该排列的逆序数，记作 $\tau (i_1{i}_2\cdots i_n)$，如 $\tau (231546)=3$，$\tau (621534)=8$。由小到大顺排的排列称为自然序列，如 12345，显然，自然排序的逆序数为 0。

奇排列和偶排列 排序的逆序数为奇数时，该排列称为奇排列；排列的逆序数为偶数时，该排列为偶排列。

2. n 阶行列式的定义

$n(n\ge 2)$ 阶行列式

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$

这里 $\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}$ 表示对所有 n 个列下标排列求和，故为 n! 项之和。注意到行下标已经顺排，而列下标是任一个 n 级排列，故每项由取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积组成，每项的正负号取决于 $(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}$。当列下标为奇排列时，应附加负号；当列下标为偶排列时，应附加正号。

四、行列式的展开定理（第三种定义）

阶数超过 3 的行列式，若还用 “一” “三” 的方法，就太麻烦了，为此，提出行列式的展开定理。

1. 余子式

在 n 阶行列式中，去掉元素 $a_{ij}$ 所在的第 i 行、第 j 列元素，由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 n-1 阶行列式称为元素 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$，即

$$M_{ij}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i-1,1}& \cdots & a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots & a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

2. 代数余子式

余子式 $M_{ij}$ 乘 $(-1{)}^{i+j}$ 后称为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记作 $A_{ij}$，即 $A_{ij}=(-1^{i+j})M_{ij}$，显然也有 $M_{ij}=(-1^{i+j})A_{ij}$。

3. 行列式按某一行（列）展开的展开公式

行列式的值等于行列式的某行（列）元素分别乘其相应的代数余子式后再求和，即

$$|A|=\{\begin{array}{l}{a}_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(i=1,2,\cdots ,n),\\ \\ a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(j=1,2,\cdots ,n).\end{array}$$

但行列式的某行（列）元素分别乘另一行（列）元素的代数余子式后再求和，结果为零，即

$$\begin{gathered} a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}=0,i\ne k; \\ {a}_{1j}{A}_{1k}+a_{2j}{A}_{2k}+\cdots +a_{nj}{A}_{nk}=0,j\ne k. \end{gathered}$$

五、几个重要的行列式

1. 主对角线行列式（上（下）三角形行列式）

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ 0& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=\prod _{i=1}^n{a}_{ij}$$

2. 副对角线行列式

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1,n-1}& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& a_{2n}\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{n,n-1}& a_{nn}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& a_{1n}\\ 0& \cdots & a_{2,n-1}& 0\\ ⋮& & ⋮& ⋮\\ a_{n1}& \cdots & 0& 0\end{array}\right| \\ =(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}{a}_{1n}{a}_{2,n-1}\cdots a_{n1} \end{gathered}$$

3. 拉普拉斯展开式

设 A 为 m 阶矩阵，B 为 n 阶矩阵，则

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& O\\ C& B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}A& C\\ O& B\end{array}\right|=|A||B| \\ \left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}C& A\\ B& O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O& A\\ B& C\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B| \end{gathered}$$

4. 范德蒙德行列式

$$\mathrm{记}\left|\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ x_1& x_1& \cdots & x_1\\ x_1^2& x_1^2& \cdots & x_1^2\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ x_1^{n-1}& x_1^{n-1}& \cdots & x_1^{n-1}\end{array}\right|=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$