第 2 讲 矩阵

一、矩阵的本质

重要观点 1 矩阵是由若干行（列）向量拼成的。

重要观点 2 矩阵不能运算，但是其若干行（列）向量之间存在着某种联系。

设 A 是 m×n 矩阵，A 中最高阶非零子式的阶数称为矩阵 A 的秩，记为 $r(A)$。

也可以这样定义：若存在 k 阶子式不为零，而任意 k+1 阶子式（如果有的话）全为零，则 $r(A)=k$，且

$$r(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A\mathrm{可}\mathrm{逆}$$

从此定义可以看出，矩阵秩的本质就是组成该矩阵的线性无关的向量的个数。

二、矩阵的定义及其基本运算

1. 矩阵的定义

由 m×n 个数 $a_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$ 排成的 m 行 n 列的矩形表格。

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

称为一个 m×n 矩阵，简记为 A 或 $(a_{ij}{)}_{m\times n}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$。当 m=n 时，称 A 为 n 阶方阵。

两个矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{s\times k}$，若 m=s，n=k，则称 A 与 B 为同行矩阵。

2. 矩阵的基本运算

（1）相等 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}=B=(b_{ij}{)}_{s\times k}\iff m=s,n=k$，且 $a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$，即 A，B 是同型矩阵，且对应元素相等。

（2）加法 两个矩阵是同型矩阵时，可以相加，即

$$C=A+B=(a_{ij}{)}_{m\times n}+(b_{ij}{)}_{m\times n}=(c_{ij}{)}_{m\times n}$$

其中，$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$，即对应元素相加。

（3）数乘矩阵 设 k 是一个数，A 是一个 m×n 的矩阵，数 k 和 A 的乘积称为数乘矩阵，即

$$kA=Ak=k\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& \cdots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \cdots & k{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ k{a}_{m1}k& a_{m2}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right]=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$$

即 A 的每个元素都乘以 k。

加法运算和数乘运算统称为矩阵的线性运算，满足下列运算规律：

① 交换律 $A+B=B+A$

② 结合律 $(A+B)+C=A+(B+C)$

③ 分配律 $k(A+B)=kA+kB,(k+l)A=kA+lA$

④ 数和矩阵相乘的结合律 $k(lA)=(kl)A=l(kA)$

其中，A，B，C 是同型矩阵，k，l 是任意常数。

当 n 阶方阵 A 计算行列式时，记成 $|A|$。

【注】（1）$|kA|=k^n|A|\ne k|A|(n\ge 2,k\ne 0,1)$

（2）一般，$|A+B|\ne |A|+|B|$

（3）$A\ne 0\nRightarrow |A|\ne 0$

（4）$A\ne B\nRightarrow |A|\ne |B|$

（4）矩阵的乘法 设 A 是 m×s 矩阵，B 是 s×n 矩阵（矩阵 A 的列数必须与矩阵 B 的行数相等），则 A，B 可乘，乘积 AB 是 m×n 矩阵，记 $C=AB=(c_{ij}{)}_{m\times n}$，C 的第 i 行第 j 列元素 $c_{ij}$ 是 A 的第 i 行的 s 个元素 与 B 的第 j 列的 s 个对应元素两两相乘之和，即

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{is}{b}_{sj}(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n)$$

矩阵乘法满足下列运算规律：

① 结合律 $(A_{m\times s}{B}_{s\times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s\times r}{C}_{r\times n})$

② 分配律 $$\begin{gathered} A_{m\times s}(B_{s\times n}+C_{s\times n})=A_{m\times s}{B}_{s\times n}+A_{m\times s}{C}_{s\times n} \\ (A_{m\times s}+B_{m\times s})C_{s\times n}=A_{m\times s}{C}_{s\times n}+B_{m\times s}{C}_{s\times n} \end{gathered}$$

③ 数乘与矩阵乘积的结合律 $(k{A}_{m\times s})B_{s\times n}=A_{m\times s}(k{B}_{s\times n})=k(A_{m\times s}{B}_{s\times n})$

【注】（1）矩阵的乘法一般情况下不满足交换律，即 $AB\ne BA$

（2）存在 $A\ne 0,B\ne 0$，而 $AB=0$，故 $AB+)\nRightarrow A=0\mathrm{或}B=0$

（3）$AB=AC,A\ne 0\Rightarrow A(B-C)=0\mathrm{及}A\ne 0\nRightarrow B=C$

（5）转置矩阵 将 m×n 矩阵 $A+(a_{ij}{)}_{m\times n}$ 的行与列互换得到的 n×m 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵，记为 $A^T$，即

$$A^T=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{m2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

转置矩阵满足下列运算规律：

① $(A^T{)}^T=A$；② $(k{A}^T{)}^T=kA$；③ $(A+B{)}^T=A^T+B^T$；④ $(AB{)}^T=B^T{A}^T$；⑤ 当 m=n 时，$|A^T|=|A|$

（6）向量的内积与正交

内积 设 $\alpha =[a_1,a_2,\cdots ,a_n{]}^T,\beta =[b_1,b_2,\cdots ,b_n{]}^T$，则称

$${\alpha }^T\beta =\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

为向量 $\alpha ,\beta$ 的内积，记作 $(\alpha ,\beta )$，即 $(\alpha ,\beta )={\alpha }^T\beta$。

正交 当 ${\alpha }^T\beta =0$ 时，称向量 $\alpha ,\beta$ 是正交向量

模 $||\alpha ||=\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$ 称为向量 $\alpha$ 的模（长度）

$||\alpha ||=1$ 时，称 $\alpha$ 为单位向量。

标准正交向量组 若列向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$，满足

$${\alpha }_i^T{\alpha }_j=\{\begin{array}{l}0,i\ne j,\\ 1,i=j,\end{array}$$

则称 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_s$ 为标准或单位正交向量组。

（7）施密特标准正交化（又称正交规范化）过程

线性无关向量组 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 的标准正交化（又称正交规范化）公式为

$$\begin{array}{rl}& {\beta }_1={\alpha }_1,\\ & {\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,\beta 1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1\end{array}$$

得到的 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 是正交向量组。

将 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 单位化，得

$${\eta }_1=\frac{{\beta }_1}{||{\beta }_1||},{\eta }_2=\frac{{\beta }_2}{||{\beta }_2||}$$

则 ${\eta }_1,{\eta }_2$ 是标准正交向量组。

（8）矩阵的幂

A 是一个 n 阶方阵，$A^m=\stackrel{m\mathrm{个}}{\overbrace{AA\cdots A}}$ 称为 A 的 m 次幂。

【注】（1）因矩阵乘法不满足交换律，故一般，

$$\begin{array}{rl}& (A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2\ne A^2+2AB+B^2,\\ & (A-B{)}^2=A^2-AB-BA+B^2\ne A^2=2AB+B^2\\ & (A+B)(A-B)=A^2+BA-AB-B^2\ne A^2-B^2\\ & (AB{)}^m=\stackrel{m\mathrm{个}}{\overbrace{(AB)(AB)\cdots (AB)}}\ne A^m{B}^m\end{array}$$

（2）若 $f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$，则 $f(A)=a_{0}E+a_{1}A+\cdots +a_m{A}^m$。

（9）方阵乘积的行列式 设 A，B 是同阶方阵，则 $|AB|=|A||B|$。

【注】几种重要矩阵。

（1）零矩阵 每个元素均为零的矩阵，记为 0。

（2）单位矩阵 主对角元素均为 1，其余元素全为零的 n 阶方阵，称为 n 阶单位矩阵，记成 E（或 I）。

（3）数量矩阵 数 k 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵。

（4）对角矩阵 非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵。

（5）上（下）三角矩阵 当 i>(<)j 时，a_ij = 0 的矩阵称为上（下）三角矩阵。

（6）对称矩阵 满足条件 $A^T=A$ 的矩阵 A 称为对称矩阵，$A^T=A\iff a_{ij}=a_{ji}$。

（7）反对称矩阵 满足条件 $A^T=-A$ 的矩阵 A 称为反对称矩阵，

$$A^T=-A\iff \{\begin{array}{l}{a}_{ij}=-a_{ji},i\ne j\\ a_{ii}=0\end{array}$$

（8）正交矩阵 设 A 是 n 阶方阵，满足 $A^{T}A=E$，则称 A 是正交矩阵。

$A\mathrm{是}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{矩}\mathrm{阵}\iff A^{T}A=E\iff A^T=A^{-1}\iff A\mathrm{的}\mathrm{行}（\mathrm{列}）\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{组}\mathrm{是}\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{正}\mathrm{交}\mathrm{向}\mathrm{量}\mathrm{组}$。

分析 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]$，且记

$\alpha =[a_1,a_2,a_3{]}^T,\beta =[b_1,b_2,b_3{]}^T,\gamma =[c_1,c_2,c_3{]}^T$。

$$\begin{gathered} \mathrm{则}A{A}^T=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right]=E=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right] \\ \mathrm{则}\mathrm{有} \\ \{\begin{array}{l}{a}_1^2+a_2^2+a_3^2=1\Rightarrow ||\alpha ||=1,\\ b_1^2+b_2^2+b_3^2=1\Rightarrow ||\beta ||=1,\\ c_1^2+c_2^2+c_3^2=1\Rightarrow ||\gamma ||=1,\\ a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0\Rightarrow (\alpha ,\beta )=0,\mathrm{即}\alpha \mathrm{与}\beta \mathrm{正}\mathrm{交},\\ a_1{c}_1+a_2{c}_2+a_3{c}_3=0\Rightarrow (\alpha ,\gamma )=0,\mathrm{即}\alpha \mathrm{与}\gamma \mathrm{正}\mathrm{交},\\ b_1{c}_1+b_2{c}_2+b_3{c}_3=0\Rightarrow (\beta ,\gamma )=0,\mathrm{即}\beta \mathrm{与}\gamma \mathrm{正}\mathrm{交},\end{array} \end{gathered}$$

即 A 是由两两正交的单位向量组（称为规范正交基）组成。

（9）分块矩阵

① 矩阵的分块。

用几条纵线和横线把一个矩阵分成若干小块，每一小块称为原矩阵的子块。把子块看作原矩阵的一个元素，就得到了分块矩阵。

如 A 按行分块：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ \\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ \\ A_2\\ \\ ⋮\\ \\ A_m\end{array}\right]$$

其中，$A_i=[a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}](i=1,2,\cdots ,m)$ 是 A 的一个子块。

B 按列分块：

$$B=\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& \cdots & b_{1n}\\ \\ b_{21}& b_{22}& \cdots & b_{2n}\\ \\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b_{m1}& b_{m2}& \cdots & b_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{B}_1,B_2,\cdots ,B_n\end{array}\right]$$

其中，$B_j=[b_{1j},b_{2j},\cdots ,b_{mj}{]}^T(j=1,2,\cdots ,n)$ 是 B 的一个子块。

② 分块矩阵的基本运算（以 2×2 型分块矩阵为例）。

加法：同型，且分法一致，则 $\left[\begin{array}{cc}{A}_1& A_2\\ A_3& A_4\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{B}_1& B_2\\ B_3& B_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1+B_1& A_2+B_2\\ A_3+B_3& A_4+B_4\end{array}\right]$

数乘：$k\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}kA& kB\\ kC& kD\end{array}\right]$

乘法：$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}X& Y\\ Z& W\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}AX+BZ& AY+BW\\ XC+DZ& CY+DW\end{array}\right]$，要可乘、可加。

注意 对于乘法的运算要注意，分块相乘后，左边的仍在左边，右边的仍在右边。

若 A，B 分别为 m，n 阶方阵，则分块对角矩阵的幂为

$${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$$

三、矩阵的逆

1. 逆矩阵的定义

（1）定义 A，B 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=BA=E，则称 A 是可逆矩阵，并称 B 是 A 的逆矩阵，且逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$。

（2）A 可逆的充分必要条件是 $|A|\ne 0$。当 $|A|\ne 0$ 时，A 可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

2.逆矩阵的性质与重要公式

设 A，B 是同阶可逆矩阵，则

（1）$(A^{-1}{)}^{-1}=A$

（2）若 $k\ne 0$，则 $(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

（3）AB 也可逆，且 $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$

（4）$A^T$ 也可逆，且 $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

（5）$|A^{-1}|=|A{|}^{-1}$

【注】A+B 不一定可逆，且 $(A+B{)}^{-1}\ne A^{-1}+B^{-1}$

3. 用定义求逆矩阵的方法

方法一 依定义，即求一个矩阵 B，使 AB=E，则 A 可逆，且 $A^{-1}=B$

方法二 将 A 分解成若干个可逆矩阵乘积。因两个可逆矩阵的积仍是可逆矩阵，即若 A=BC，其中，B，C 均可逆，则 A 可逆，且 $A^{-1}=(BC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$

方法三 一些简单分块矩阵的逆。若 A，B 均是可逆方阵，则

$${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right],{\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]$$

四、伴随矩阵

1. 伴随矩阵的定义

伴随矩阵 将行列式 |A| 的 n² 个元素的代数余子式按如下形式排成的矩阵称为 A 的伴随矩阵，记作 A^*，即

$$\begin{gathered} A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right] \\ \mathrm{且}\mathrm{有}A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=E \end{gathered}$$

伴随矩阵的性质与重要公式

（1）对任意 n 阶方阵 A，都有伴随矩阵 A^*，且有公式

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E,|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

当 $|A|\ne 0$ 时，有

$$\begin{array}{rl}& A^{\ast }=|A|A^{-1},A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast },A=|A|(A^{\ast }{)}^{-1}\\ & (kA)(k{A}^{\ast })=|kA|E\\ & A^T(A^T{)}^{\ast }=|A^T|E\\ & A^{-1}(A^{-1}{)}^{\ast }=|A^{-1}|E\\ & A^{\ast }(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A^{\ast }|E\end{array}$$

（2）$(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T,(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1},(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast },(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

3. 用伴随矩阵求逆矩阵的方法

若 $|A|\ne 0$，则 A 可逆，且 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

五、初等变换与初等矩阵

1. 初等变换

（1）一个非零常数乘矩阵的某一行（列）；

（2）互换矩阵中某两行（列）的位置；

（3）将矩阵的某一行（列）的 k 倍 加到另一行（列）

以上三种变换称为矩阵的初等行（列）变换。且分别称为倍乘、互换、倍加初等行（列）变换。

2. 初等矩阵的定义

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。以 3 阶矩阵为例。

（1）$E_{2}k=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& k& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，E 的第 2 行（或第 2 列）乘 k 倍，称为倍乘初等矩阵。

定义：$E_i(k)(k\ne 0)$ 表示单位矩阵 E 的第 i 行（或第 i 列）乘以非零常数 k 所得的初等矩阵。

（2）$E_{12}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，E 的第 1,2 行（或第 1,2 列）互换，称为互换初等矩阵。

定义：$E_{ij}$ 表示单位矩阵 E 交换第 i 行与第 j 行（或交换第 i 列与第 j 列）所得到的初等矩阵。

（3）$E_{31}(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right]$ ，E 的第 1 行的 k 倍加到第 3 行（或第 3 列的 k 倍加到第 1 列），称为倍加初等矩阵。定义：$E_{ij}(k)$ 表示单位矩阵 E 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行（或第 i 列的 k 倍加到第 j 列）所得到的初等矩阵。

3. 初等矩阵的性质与重要公式

（1）初等矩阵的转置仍是初等矩阵。

（2）因 $E_i(k)|=k\ne 0$，$|E_{ij}|=-1\ne 0$，$|E_{ij}(k)|=1\ne 0$，故初等矩阵都是可逆矩阵，且$[E_i(k){]}^{-1}=E_i(\frac{1}{k})$，$E_{ij}^{-1}=E_{ij}$，$[E_{ij}(k){]}^{-1}=E_{ij}(-k)$，其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵。

（3）若 A 是可逆矩阵，则 A 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即 $A=P_1{P}_2\cdots P_s$，其中 $P_1{P}_2\cdots P_s$ 是初等矩阵。

（4）对 n 阶矩阵 A 进行初等行变换，相当于对矩阵 A 左乘相应的初等矩阵。同样，对 A 进行初等列变换，相当于矩阵 A 右乘相应的初等矩阵。

4. 用初等变换求逆矩阵的方法

$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{cc}A& E\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}}{\to }\left[\begin{array}{cc}E& A^{-1}\end{array}\right] \\ \left[\begin{array}{c}A\\ E\end{array}\right]\stackrel{\mathrm{初}\mathrm{等}\mathrm{列}\mathrm{变}\mathrm{换}}{\to }\left[\begin{array}{c}E\\ A^{-1}\end{array}\right] \end{gathered}$$

六、等价矩阵和矩阵的等价标准形

设 A，B 均是 m×n 矩阵，若存在可逆矩阵 $P_{m\times m},Q_{n\times n}$，使得 $PAQ=B$，则称 A，B 是等价矩阵，记作 $A\cong B$。

A 是一个 m×n 矩阵，则 A 等价于形如 $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$ 的矩阵（$E_r$ 中的 r 恰是 $r(A)$），后者称为 A 的等价标准形。等价标准形是唯一的，即若 $r(A)=r$，则存在可逆矩阵 P，Q，使得

$$PAQ=\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$$

七、矩阵的秩

1. 定义

设 A 是 m×n 矩阵，若存在 k 阶子式不为零，而任意 k+1 阶子式全为零（如果有的话），则 $r(A)=k$，且若 A 为 n×n 矩阵，则 $r(A_{n\times n})=n\iff |A|\ne 0\iff A\mathrm{可}\mathrm{逆}$

2. 初等变换不改变矩阵的秩

性质 设 A 是 m×n 矩阵，P，Q 分别是 m 阶、n 阶可逆矩阵，则 $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$。

3. 有关秩的几个重要式子

设 A 是 m×n 矩阵，B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵，则

① $0\le r(A)\le min\{m,n\}$（由定义）

② $r(kA)=r(A)(k\ne 0)$（由定义）

③ $r(AB)\le min\{r(A),r(B)\}$

④ $r(A+B)\le r(A)+r(B)$

⑤ $r(A^{\ast })=\{\begin{array}{l}n,r(A)=n,\\ 1,r(A)=n-1,\\ 0,r(A)<n-1\end{array}$，其中 A 为 n 阶方阵

⑥ $AB=0，r(A)+r(B)\le A\mathrm{的}\mathrm{列}\mathrm{数}$