第二章 导数与微分

第一节 导数与微分的基本概念与性质

一、基本概念

1.导数

设 $y=f(x)(x\in D)$，$x_0\in D$，在点 $x_0$ 处自变量 $x$ 取得增量 $\mathrm{\Delta }x$（点 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 仍在 $D$ 内），函数的增量为

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

若极限

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，极限值称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}{|}_{x=x_0}$

划重点

（1）函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的等价定义：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

（2）左导数——若极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左可导，极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记为 $f_{-}^{\prime }(x_0)$；

右导数——若极限 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右可导，极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数，记为 $f_{+}^{\prime }(x_0)$；

定理：函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导的充分必要条件是 $f_{-}^{\prime }(x_0)$，$f_{+}^{\prime }(x_0)$ 都存在且相等。

（3）若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，反之不对。

证明 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，即 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ 存在，从而

$$\underset{x\to x_0}{lim}[f(x)-f(x_0)]=0$$

于是 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

设 $f(x)=\sqrt{x^2}+2x$，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，

$$\begin{array}{r}\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x^2}+2x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|+2x}{x},\\ f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|x|+2x}{x}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x+2x}{x}=1,\\ f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|+2x}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x+2x}{x}=3.\end{array}$$

因为 $f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0)$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。

（4）若可导函数 $f(x)$ 为奇函数，则 $f^{\prime }(x)$ 为偶函数；若可导函数 $f(x)$ 为偶函数，则 $f^{\prime }(x)$ 为奇函数，且 $f^{\prime }(x)=0$。

2.微分

设 $y=f(x)(x\in D)$，$x_0\in D$，在点 $x_0$ 处自变量 $x$ 取得增量 $\mathrm{\Delta }x$（点 $x_0+\mathrm{\Delta }x$ 仍在 $D$ 内），函数的增量为

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

若

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

其中 $A$ 是不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 的常数，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，称 $A\mathrm{\Delta }x$ 为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的微分，记为 $\text{d}y{|}_{x=x_0}$，即 $\text{d}y{|}_{x=x_0}=A\mathrm{\Delta }x$，习惯上写为 $\text{d}y{|}_{x=x_0}=A\text{d}x$。

划重点

（1）函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微。

证明 “必要性” 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，即

$$\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)$$

则 $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x_0)+\alpha$，其中 $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\alpha =0$，于是

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+\alpha \mathrm{\Delta }x$$

因为 $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}=\frac{\alpha \mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=0$，所以 $\alpha \mathrm{\Delta }x=o(\mathrm{\Delta }x)$，即

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

故 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。

“充分性” 设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微，即 $\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$，从而

$$\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A+\frac{o(\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

两边求极限得 $\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=A$，即 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime }(x_0)=A$。

（2）设 $y=f(x)$ 处处可导，则 $\text{d}y=\text{d}f(x)=f^{\prime }(x)\text{d}x$。

3.高阶导数

设函数 $y=f(x)$ 可导，其导数为 $f^{\prime }(x)$，若 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f^{\prime }(x+\mathrm{\Delta }x)-f^{\prime }(x)}{\mathrm{\Delta }x}$ 存在，则称其为 $y=f(x)$ 的二阶导数，记为 $f^{″}(x)$ 或 $\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}$

设 $f^{(n-1)}(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的 $n-1$ 阶导数，若 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f^{(n-1)}(x+\mathrm{\Delta }x)-f^{(n-1)}(x)}{\mathrm{\Delta }x}$ 存在，则称其为 $y=f(x)$ 的 $n$ 阶导数，记为 $f^{(n)}(x)$ 或 $\frac{{\text{d}}^{n}y}{\text{d}{x}^n}$。

二、求导基本工具

1.求导基本公式

（1）$(C{)}^{\prime }=0$

（2）$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$

特别地，$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$

（3）$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$

特别地，$(e^x{)}^{\prime }=e^x$

（4）$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$

特别地，$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$

（5）① $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$； ② $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$；

③ $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$； ④ $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$；

⑤ $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$； ⑥ $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$；

（6）① $(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$； ② $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$；

③ $(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$； ④ $(\text{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$；

（7）① $(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$； ② $(\cos x{)}^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi }{2})$；

2.导数的四则运算法则

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$，$w=w(x)$，则称其为

（1）$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$

（2）① $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

② $(ku{)}^{\prime }=k{u}^{\prime }$（$k$ 为任意常数）

③ $(uvw{)}^{\prime }=u^{\prime }vw+u{v}^{\prime }w+uv{w}^{\prime }$

（3）$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}(v\ne 0)$

（4）高阶导数公式

① $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

② $(uv{)}^{(n)}=C_n^0{u}^{(n)}v+C_n^1{u}^{(n-1)}{v}^{\prime }+\cdots +C_n^{n}u{v}^{(n)}$

3.复合函数求导法则（链式法则）

设 $y=f(u)$ 在点 $u=\phi (x)$ 处可导，$u=\phi (x)$ 在点 $x$ 处可导且 ${\phi }^{\prime }(x)\ne 0$，则函数 $y=f[\phi (x)]$ 关于 $x$ 可导，且

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y}{\text{d}u}\cdot \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=f^{\prime }(u)\cdot {\phi }^{\prime }(x)=f^{\prime }[\phi (x)]\cdot {\phi }^{\prime }(x)$$

证明 由 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}={\phi }^{\prime }(x)\ne 0$ 得 $\mathrm{\Delta }x=O(\mathrm{\Delta }u)$，

又 $\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}=f^{\prime }(u)$，则

$$\begin{array}{rl}\frac{\text{d}y}{\text{d}x}& =\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\\ \\ & =\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(u)\cdot {\phi }^{\prime }(x)\end{array}$$

4.反函数的导数

设函数 $y=f(x)$ 单调、可导且 $f^{\prime }(x)\ne 0$，则函数 $y=f(x)$ 存在可导的反函数 $x=\phi (y)$，且

$${\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

证明 由 $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=f^{\prime }(x)\ne 0$ 得 $\mathrm{\Delta }x=O(\mathrm{\Delta }y)$，则

$${\phi }^{\prime }(y)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }y}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\frac{1}{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}}=\frac{1}{f^{\prime }(x)}$$

第二节 隐函数及参数方程确定的函数的导数

一、隐函数的导数

设在方程 $F(x,y)=0$ 中，若对任意的 $x$，总有唯一确定的 $y$ 与之对应，则 $F(x,y)=0$ 能确定 $y$ 是 $x$ 的函数，由 $F(x,y)=0$ 确定的 $y$ 是 $x$ 的函数称为隐函数。

若 $F(x,y)=0$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数，求 $y$ 对 $x$ 的各阶导数时，只要将 $y$ 看成 $x$ 的表达式即可。

二、参数方程确定的函数的导数

设 $y=y(x)$ 是由方程 $\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t)\end{array}$ 确定的函数。

（1）若 $\phi (t)$，$\psi (t)$ 可导且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{\text{d}y/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}$$

（2）若 $\phi (t)$，$\psi (t)$ 可导且 ${\phi }^{\prime }(t)\ne 0$，则

$$\frac{{\text{d}}^{2}y}{\text{d}{x}^2}=\frac{\text{d}(\frac{\text{d}y}{\text{d}x})/\text{d}t}{\text{d}x/\text{d}t}=\frac{{\psi }^{″}(t){\phi }^{\prime }(t)-{\psi }^{\prime }(t){\phi }^{″}(t)}{{\phi }^{\prime 3}(t)}$$

本章重要考点及题型

题型一 用导数定义求导及判断可导性

题型二 隐函数的导数及参数方程确定的函数的导数

题型三 分段函数的导数

题型四 高阶导数