第 3 讲 函数极限与连续性

一、函数极限

1. 邻域

（1）一维的情形

邻域    以点 $x_0$ 为中心的任何开区间称为点 $x_0$ 的邻域，记作 $U(x_0)$。

$\delta$ 邻域    设 $\delta$ 是一正数，则称开区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 为点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域，记作 $U(x_0,\delta )$，即 $U(x_0,\delta )=\{x|x_0-\delta <x<x_0+\delta \}=\{x||x-x_0|<\delta \}$，其中点 $x_0$ 称为邻域的中心，$\delta$ 称为邻域的半径。

去心 $\delta$ 邻域    定义去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$；$\mathring{U}(x_0,\delta )=\{x|0<|x-x_0|<\delta \}$

左、右 $\delta$ 邻域    $\{x|0<x-x_0<\delta \}$ 称为点 $x_0$ 的右 $\delta$ 邻域，记作 $U^{+}(x_0,\delta )$；$\{x|0<x_0-x<\delta \}$ 称为点 $x_0$ 的左 $\delta$ 邻域，记作 $U^{-}(x_0,\delta )$；

（2）二维的情形

$\delta$ 邻域    设 $P_0(x_0,y_0)$ 是 xOy 平面上的一个点，$\delta$ 是某一正数，与点 $P_0(x_0,y_0)$ 的距离小于 $\delta$ 的点 $P(x,y)$ 的全体，称为点 $P_0$ 的 $\delta$ 邻域，记为 $U(P_0,\delta )$，即 $U(P_0,\delta )=\{P||P{P}_0|<\delta \}\mathrm{或}U(P_0,\delta )=\{(x,y)|\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0^2)}<\delta \}$

去心 $\delta$ 邻域    点 $P_0$ 的去心 $\delta$ 邻域，记作 $\mathring{U}(P_0,\delta )$，即 $\mathring{U}(P_0,\delta )=\{P|0<|P{P}_0|<\delta \}$。需要指出，如果不需要强调邻域的半径 $\delta$，则用 $U(P_0)$ 表示点 $P_0$ 的某个邻域，点 $P_0$ 的去心邻域记作 $\mathring{U}(P_0)$。

$\delta$ 邻域的几何意义    $U(P_0,\delta )$ 表示 xOy 平面上以点 $P_0(x_0,y_0)$ 为中心，$\delta >0$ 为半径的圆的内部的点 $P(x,y)$ 的全体。

邻域与区间（区域）    邻域当然属于区间（区域）的范畴但事实上，邻域通常表示 “一个局部位置”，比如 “点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域”，就可以称为 “点 $x_0$ 的附近”。于是，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某 $\delta$ 邻域内有定义也就是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的附近有定义，这个 “附近” 到底有多近多远，既难以说明也没有必要说明。

2. 函数极限的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。若存在常数 A，对于任意给定的 $\xi >0$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\xi$，则 A 就叫作函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\mathrm{或}f(x)\to A(x\to x_0)$$

写成 “$\xi -\delta$ 语言”：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\xi >0,\mathrm{当}0<|x-x_0|<\delta \mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<\xi$

【注 1】这里 x 的趋向方式要比数列问题多得多，对于 $x\to x_0$，既然考虑 x 从 x₀ 的左侧（小于 x₀）无限接近 x₀，即 $x\to x_0^{-}$，也要考虑 x 从 x₀ 的右侧（大于 x₀）无限接近 x₀，即 $x\to x_0^{+}$；对于 $x\to \mathrm{\infty }$，既包括 $x\to -\mathrm{\infty }$，也包括 $x\to +\mathrm{\infty }$，不再一一列出。读者应学会写出函数极限的精准定义，提示一下：对于 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限，其 “$\xi -X$ 语言” 为

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\iff \mathrm{\forall }\xi >0,\text{exist}X>0,\mathrm{当}|x|>X\mathrm{时},\mathrm{有}|f(x)-A|<\xi$$

【注 2】（1）函数的单侧极限

若当 $x\to x_0^{-}$ 时，$f(x)$ 无限接近于某常数 A，则常数 A 叫作函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的左极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\mathrm{或}f(x_0^{-})=A$$

若当 $x\to x_0^{+}$ 时，$f(x)$ 无限接近于某常数 A，则常数 A 叫作函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的右极限，记为

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\mathrm{或}f(x_0^{+})=A$$

（2）函数极限存在的充要条件

$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A,\mathrm{且}\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A \\ \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha (x),\underset{x\to x_0}{lim}\alpha (x)=0 \end{gathered}$$

3. 函数极限的性质

是常数    常记 $\underset{x\to \cdot }{lim}f(x)=A$，A 是一个常数。

唯一性    如果极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，那么极限唯一。

局部有界性    如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，则存在正常数 M 和 $\delta$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$

局部保号性    如果 $f(x)\to A(x\to x_0)$，且 A > 0（或 A < 0），那么存在常数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）。

【注】推论    如果 $f(x)\ge 0(\mathrm{或}\le 0)(x\to x_0)\mathrm{且}\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A,\mathrm{则}A\ge 0(\mathrm{或}\le 0)$

等式脱帽法    $f(x)=A+\alpha$，其中 $\underset{x\to \cdot }{lim}\alpha =0$

4. 极限运算规则

若 $limf(x)=A,limg(x)=B$，那么

① $lim[kf(x)\pm lg(x)]=klimf(x)\pm llimg(x)=kA\pm lB$，其中 k, l 为常数

② $lim[f(x)\cdot g(x)]=limf(x)\cdot limg(x)=A\cdot B$，特别地，若 $limf(x)$ 存在，n 为正整数，则 $lim[f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$

③ $lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

5. 夹逼准则

如果函数 $f(x)$，$g(x)$ 及 $h(x)$ 满足下列条件：

① $g(x)\le f(x)\le h(x)$

② $limg(x)=A,limh(x)=A$

则 $limf(x)$ 存在，且 $limf(x)=A$

【注】常见的一个问题：设任意的 x，总有 $\phi (x)\le f(x)\le g(x)$，且 $lim[g(x)-\phi (x)]=0$，则 $limf(x)$ 是否一定存在？答案是否定的。$lim[g(x)-\phi (x)]$ 存在并不能说明 $limg(x),lim\phi (x)$ 都存在，从而也不能保证 $limf(x)$ 存在。

6. 洛必达法则

法则一    设 ① 当 $x\to a$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于零

② $f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 在点 a 的某去心邻域内（或当 $|x|>X$，此时 X 为充分大的正数）存在，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$

③ $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$（或 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$）存在或无穷大

则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$（或 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$）

法则二    设 ① 当 $x\to a$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时，函数 $f(x)$ 及 $F(x)$ 都趋于无穷大

② $f^{\prime }(x)$ 及 $F^{\prime }(x)$ 在点 a 的某去心邻域内（或当 $|x|>X$，此时 X 为充分大的正数）存在，且 $F^{\prime }(x)\ne 0$

③ $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$（或 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$）存在或无穷大

则 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$（或 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$）

【注】（1）一般来说，洛必达法则是用来计算 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$” 型未定式极限的，不是 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$” 型，就不能用洛必达法则

（2）如果极限 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 仍属于 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$” 型，且 $f^{\prime }(x),F^{\prime }(x)$ 继续满足洛必达法则的条件，则可以继续使用洛必达法则，即 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{″}(x)}{F^{″}(x)}$

（3）如果 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$ 不存在也不为 $\mathrm{\infty }$，不能推出 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}$ 不存在也不为 $\mathrm{\infty }$，简单一点说就是

对于 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{F(x)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{F^{\prime }(x)}$，“右存在，则左存在；但左存在，并不意味着右一定存在”

7. 泰勒公式

泰勒公式是极限计算的重要工具

第一，要将以下几个重要函数的泰勒公式熟稔于心（$x\to 0$）：

$$\begin{array}{rlrl}& sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)& & cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)\\ \\ & arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)& & tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \\ & arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)& & ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \\ & e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)& & (1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+o(x^2)\end{array}$$

第二，要掌握高阶无穷小的计算规则

第三，也是最关键的一点，用泰勒公式求极限时，函数应展开 x 的几次幂？

（1）$\frac{A}{B}$ 型，适用于 “上下同阶” 原则

（2）A-B 型，适用于 “幂次最低” 原则

8. 海涅定理（归结原则）

设 $f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0,\delta )$，则

$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\mathrm{存}\mathrm{在}\iff \mathrm{对}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathring{U}(x_0,\delta )\mathrm{内}\mathrm{以}{x}_0\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{限}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{列}\{x_0\}(x_n\ne x_0),\mathrm{极}\mathrm{限}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A\mathrm{存}\mathrm{在}$

9. 无穷小的比较

（1）无穷小定义

如果当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时，函数 $f(x)$ 的极限为零，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷小，记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0(\mathrm{或}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0)$$

特别地，以零为极限的数列 $\{x_n\}$ 称为 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷小。

【注】（1）无穷大定义

如果当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时，函数 $|f(x)|$ 无限增大，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大，记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }(\mathrm{或}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\mathrm{\infty })$$

（2）无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\ne 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大

（2）无穷小的比较

设在自变量的同一变化过程中，$lim\alpha (x)=0,lim\beta (x)=0$，且 $\beta (x)\ne 0$，则

① 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$，则称 $\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 高阶的无穷小，记为 $\alpha (x)=o(\beta (x))$

② 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\mathrm{\infty }$，则称 $\alpha (x)$ 是比 $\beta (x)$ 低阶的无穷小

③ 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是同阶无穷小

④ 若 $lim\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$，则称 $\alpha (x)$ 与 $\beta (x)$ 是等阶无穷小，记为 $\alpha (x)\sim \beta (x)$

⑤ 若 $lim\frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=c\ne 0$，则称 $\alpha (x)$ 是 $\beta (x)$ 是k 阶无穷小

【 注】并不是任意两个无穷小都可进行比阶的

（3）无穷小运算规则

① 有限个无穷小的和是无穷小

② 有界函数与无穷小的乘积是无穷小

③ 有限个无穷小的乘积是无穷小

④ 无穷小的运算

设 m，n 为正整数，则

a. $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=min\{m,n\}$（加减法时低阶 “吸收” 高阶）

b. $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$（乘法时阶数 “累加”）

c. $o(x^m)=o(k{x}^m)=k\cdot o(x^m),k\ne 0\mathrm{且}\mathrm{为}\mathrm{常}\mathrm{数}$（非零常数相乘不影响阶数）

（4）常用的等价无穷小

当 $x\to 0$ 时，常用的等价无穷小有：

$$\begin{gathered} \sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln (1+x)\sim x,e^x-1\sim x, \\ {a}^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x \end{gathered}$$

二、函数的连续与间断

1. 连续点的定义

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一邻域内有定义，且有 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。

2. 间断点的定义与分类

以下设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。

（1）可去间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\ne f(x_0)(f{x}_0\mathrm{甚}\mathrm{至}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{无}\mathrm{定}\mathrm{义})$，则这类间断点称为可去间断点（可补间断点）。

（2）跳跃间断点

若 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)$ 与 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$ 都存在，但 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)\ne \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)$，则这类间断点称为跳跃间断点

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点

（3）无穷间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$，则这类间断点称为无穷间断点，如函数 $y=\frac{1}{x}$ 的点 x=0 处为无穷间断点

（4）振荡间断点

若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 振荡不存在则这类间断点称为振荡间断点，如函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在点 x=0 处没有定义，且当 $x\to 0$ 时，函数值在 -1 与 1 这两个数之间交替振荡取值，极限不存在，故点 x=0 为函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 的振荡间断点。

无穷间断点和振荡间断点都属于第二类间断点